Matematicas

Tema 3
Introducci´n a la interpolaci´n y a la
o
o
integraci´n num´rica
o
e
3.1.

Introducci´n a la interpolaci´n
o
o

Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en ingenier´ es tratar de construir una funci´n (denominada “funci´n interpolante”) de la
ıa
o
o
que se conoce una serie de datos (denominados “datos de interpolaci´n”). Estos datos
opueden ser fruto de las observaciones realizadas en un determinado experimento en el
que se relacionan dos o m´s variables e involucran valores de una funci´n y/o de sus
a
o
derivadas. El objetivo ser´ determinar una funci´n que verifique estos datos y que adem´s
a
o
a
sea f´cil de construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los polinomios se usan
a
frecuentemente como funcionesinterpolantes.

3.1.1.

Generalidades

Un problema de interpolaci´n en general puede enunciarse de la siguiente forma:
o
Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una funci´n y/o sus derivadas en
o
determinados puntos xi , i = 0, 1, · · · , n, que llamaremos nodos, nuestro objetivo es
construir otra funci´n que coincida con la funci´n dada en los datos de interpolaci´n.
o
oo
Seg´n el tipo de los datos de interpolaci´n, podemos considerar los siguientes tipos de
u
o
interpolaci´n:
o
Interpolaci´n de Lagrange: Conocemos los valores de la funci´n f (xi ) en n +1 puntos
o
o
distintos, xi , i = 0, 1, · · · , n
Interpolaci´n de Taylor: Los datos son el valor de la funci´n y sus derivadas sucesivas
o
o
en un punto x0 hasta el orden n.
f i) (x0 ),

i = 0, 1,· · · , n.
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C´lculo Num´rico I.
a
e
Interpolaci´n de Hermite: Disponemos de los valores de una funci´n y de algunas
o
o
de sus derivadas sucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f (xi ) y f ′ (xi ) en
n + 1 puntos distintos, xi , i = 0, 1, · · · , n

En general, las funciones interpolantes forman un espacio vectorial de dimensi´n finita,
o
es decir son del tipo:
ψ(x) = a0 ψ0 (x) + a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x),
donde ψ0 (x), ψ1 (x), · · · , ψn (x), son funciones dadas que forman base del espacio vectorial
u
correspondiente y ai , i = 0, 1, · · · , n n´meros reales a determinar.
Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolantes, la interpolaci´n se llamar´ polin´mica, racional, trigonom´trica, spline polinomial,... Entre las
oa
o
e
diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad para operar, los polinomios
son los utilizados con mayor frecuencia en problemas de interpolaci´n, en este caso las
o
i
funciones de base son ψi (x) = x , i = 0, 1, · · · , n. Sin embargo, no siempre dan una
respuesta satisfactoria, especialmente si la soluci´n del problema requiere el uso de polio
nomios de altogrado o, por ejemplo, si se observa un comportamiento peri´dico en los
o
datos de interpolaci´n.
o
Por simplicidad, nos centraremos en este Tema en el estudio del caso particular de la
interpolaci´n polin´mica de Langrange.
o
o

3.1.2.

La interpolaci´n de Lagrange
o

El problema de la interpolaci´n polin´mica de Lagrange consiste en lo siguiente:
o
o
Conocidos los valores de unafunci´n f en n + 1 puntos distintos xi , i = 0, 1, · · · , n
o
de un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio Pn de grado no superior
a n, que coincida con la funci´n f en estos n + 1 puntos, es decir,
o
Pn (xi ) = f (xi ),

para i = 0, 1, · · · , n.

El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomio de grado menor o
a
igual que n y, por tanto, Pn (x) ser´ dela forma
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
y, para determinarla, habr´ que hallar los n + 1 coeficientes reales a0 , a1 , · · · , an . En el
a
caso que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente grado n.
La existencia y unicidad del polinomio de interpolaci´n Pn (x) se prueba en el siguiente
o
resultado, adem´s se determina una primera forma de construirlo.
a...