matematicas

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1. Calculo en una variable

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1. Calculo en una variable
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Calculo - Escuela Universitaria Politecnica

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M.A. Atencia Ruiz, J.M. Gonzalez Vida, T. Morales de Luna, M.L. Munoz Ruiz
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Departamento de Matematica Aplicada
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Universidad de Malaga

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1. Calculo en una variable

´ndice
I
1

El numero real y complejo
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La recta real
El numero complejo
´

2Funciones de una variable. L´mites y continuidad
ı
´
Introduccion
L´mites
ı
Continuidad

3

´
Derivacion
´
Introduccion
Derivadas
Polinomio de Taylor

4

´
Integracion
´
Introduccion
´
La integral indefinida. Calculo de primitivas
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´
La integral definida. Calculo de areas y volumenes
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1. Calculo en una variable
El numero real y complejo
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La recta real

´ndice
I1

El numero real y complejo
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La recta real
El numero complejo
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2

Funciones de una variable. L´mites y continuidad
ı
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Introduccion
L´mites
ı
Continuidad

3

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Derivacion
´
Introduccion
Derivadas
Polinomio de Taylor

4

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Integracion
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Introduccion
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La integral indefinida. Calculo de primitivas
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´
La integral definida. Calculo de areas y volumenes
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´1. Calculo en una variable
El numero real y complejo
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La recta real

Conceptos previos
Recordemos algunas notaciones referentes a la teor´a de conjuntos. Denotaremos por
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letras mayusculas (A, B, C, ...) a los conjuntos y por letras minusculas (a, b, c, ...) a
´
´
sus elementos.
a ∈ A se lee: “el elemento a pertenece al conjunto A”.
a ∈ A se lee: “el elemento a no pertenece alconjunto A”.
/
A ⊂ B se lee: “A es un subconjunto de B”, y significa que cualquier elemento de
´
´
A esta tambien en B.
´
A ∪ B se lee: “A union B”, y es un nuevo conjunto formado por los elementos de A
junto con los de B. Claramente, A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B.
´
A ∩ B se lee: “A interseccion B”, y es el conjunto formado por los elementos que
´
estan a la vez en A y en B. Claramente, A ∩ B ⊂ Ay A ∩ B ⊂ B.
A − B se lee: “A menos B”, y es el conjunto formado por los elementos de A que
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no estan en B.
´
∅ es el conjunto vac´o, aquel que no posee ningun elemento.
ı
´
Un conjunto puede definirse de dos formas: dando todos sus elementos o dando la
propiedad (o propiedades) que define a sus elementos. Por ejemplo, el conjunto A
formado por los numeros pares menores que 10 puede darsecomo A = {2, 4, 6, 8} o
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bien como A = {numeros pares menores que 10}.
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Ejemplo 1

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1. Calculo en una variable
El numero real y complejo
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La recta real

Definiciones
Definiciones
Los naturales son los numeros que sirven para contar: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
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(La inclusion o no del cero dentro del conjunto de los numeros naturales es una
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cuestion de contexto y deconvenio).
Los enteros son los naturales con signo: Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Los racionales son las fracciones de la forma
distinto de cero. Los denotaremos por Q.

m
,
n

donde m, n ∈ Z, siendo n

Los reales son todos los numeros que conocemos, y se denotan por R. Los
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representaremos como una l´nea recta, la recta real.
ı
Los irracionales son los numeros reales que noson racionales. Los
´
denotaremos por I.
Tenemos las siguientes inclusiones: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R y I ⊂ R.
Por otro lado, R = Q ∪ I y Q ∩ I = ∅.
´
´
Notese que los racionales poseen desarrollos decimales finitos o periodicos, como
12 56, −3 567, 67 52525252... En cambio, los irracionales tienen desarrollos decimales
√
´
infinitos y no periodicos, como 2 = 1 41421356..., π = 3 14159265..., e = 2718281...
˜
Cabe senalar que los racionales son lo que se conoce como densos en R, esto es,
dado un numero real x, existe un racional q tan cerca de x como queramos.
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1. Calculo en una variable
El numero real y complejo
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La recta real

Orden y desigualdades
Los numeros reales pueden ordenarse. Dados a, b ∈ R, diremos que a < b (“a es
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´
menor que b”) si a queda a la...