matematicas

En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»). El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce comoMétodo de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (siendo r un número entero) si es coherente.
El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por William GeorgeHorner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.
El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos. El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.
En tanto quetécnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima;[3] en la obra de Al Samaw'al (siglo XII).[4] El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar deejemplo la división:
(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamosdebajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18


Ejemplo
Dividir por la regla de Ruffini:(x5− 32) : (x − 2
OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI

EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

A = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3
B = x + 2

A:B = (10x2 - 5 - 3x4 + 2x3) : (x + 2) =


1) Polinomio A ordenado y completo: -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5

2) El término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2



Cociente = -3x3 + 8x2 - 6x + 12

Resto:-29
Solamente se puede aplicar la Regla de Ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.

Para aplicar la Regla de Ruffini, se ponen los coeficientes de dividendo completo y ordenado de mayor a menor grado-, y el opuesto del número "a" del divisor (El opuesto del término independiente. Si es una suma, queda un número negativo. Si esuna resta, queda un número positivo). Las x (o letras) del polinomio se quitan, y se hacen determinadas operaciones entre los números (ver en la EXPLICACIÓN todos los pasos). Luego, en el resultado, el último número de la derecha es el Resto de la división; y los otros números son los coeficientes del Cociente (resultado de la división), a los que hay que agregarles las "x" en orden de izquierda aderecha, comenzando por un grado menos que el del dividendo y disminuyendo hasta llegar a un término independiente (grado cero).

Hay divisores de grado 1 que no tienen la forma (x - a), pero que pueden ser modificados de alguna manera para que la tengan, y así luego poder usar la Regla de Ruffini (Ver EJEMPLO 7 y EJEMPLO 6)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1




EJEMPLO 2: (El dividendo...