matematicas


1.3 Potencias De i, módulo o valor absoluto de un número complejo
29 ene
Valor absoluto. El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si elcomplejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z – w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y ladivisión de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.
Modulo de un vector
Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación: ½ Z1½ = r = Que es la relación que nos permite determinar la longitudde un vector. Sea Z un número complejo. Explique como determinar Sea Z= a +bi.
La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro complejo que llamaremos x + yi: = x + yi = x + yi (])
Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo términos:
a + bi = x2 + 2xyi + y2i2
a + bi = x2 + 2xyi + y2 (−1)
a + bi = (x2 – y2) + 2xyi
Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el siguientesistema: Despejando “y” en ( ]]] ): Sustituyendo este valor en ( ]] ): Expresando en términos de X2:
Tomamos únicamente el valor positivo, pues es mayor que “a” y x2 no puede ser negativo. Además = S
En la ecuación ( ]]] ) podemos observar que “b” tiene el mismo signo que el producto “xy”. Por lo tanto, si “b” es positivo “x” e “y” serán de igual signo y tendremos que: Para b > 0 Para b < 0
Como lossignos que deben tomarse para X e Y deben satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las siguientes consideraciones:
Para b > 0: Las raíces deben ser; ambas del mismo signo: positivas o negativas (+,+), (- , -) Para b < 0: Las raíces, se toman con signos opuestos :(+,-),(-, +)
 
Aplicaciones en Ingenieria
En ingeniería los números complejos se usan para muchísimas cosas.
La razón principaldetrás de esto es que los matemáticos desarrollaron una enorme cantidad de herramientas de análisis y álgebra para trabajar con ellos y los ingenieros encontraron una forma práctica de representar vectores con ellos.
Esta última afirmación es un poco hiperbólica, lo se, pero se ajusta bastante a la realidad y justifica el hecho de que se usen tan ampliamente.
En ingeniería eléctrica permitenrepresentar muy fácilmente los parámetros de magnitud y fase cuando se representan corrientes y tensiones alternas; el gran vinculador de ellas, la impedancia (cociente de la tensión y la corriente) se representa con un número complejo. Una parte real, una imaginaria, que representan resistencia (real) inductancia y capacitancia (imaginario).
Este último ejemplo es un ícono para iniciados y noiniciados. Sin embargo los mismos mecanismos se utilizan para analizar el campo magnético resultante en la armadura de un motor, etc.
En ingeniería electrónica el uso es el mismo que en eléctrica, pero además se aplica (para mencionar sólo un ejemplo) a ondas electromagneticas, en donde se representa la relación entre campos eléctricos y magnéticos.
En control para representar los retardos entre lasseñales de realimentación, corrección y error en un sistema.
En ingeniería mecánica para representar la relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material.
En ingeniería civil para representar esfuerzos en estructuras, pendeos…
En ingeniería hidráulica para poner en números el comportamiento de los fluidos
En aeronáutica para representar las fuerzas resultantes...