matematicas

A 10.1 Utilidad
Las curvas de indiferencia son la representación gráfica de las preferencias del consumidor y la función de utilidad es su representación algebraica.

Sea la función de utilidad: u= u(x1, x2)

Utilidad marginal=derivada parcial de u= δu/δx1

A 10.1.1Tasa Marginal de Sustitución
Derivemos la Tasa Marginal de Sustitución (TMS) usando diferenciales manteniendo la utilidadtotal constante:

du= δu/δx1*dx1+δu/δx2*dx2=0

El primer término mide el aumento de u ante un pequeño cambio de x1 y el segundo, el aumento de u ante un pequeño cambio de x2, escogemos los cambios tal que su suma sea = 0. Resolviendo tenemos la TMS equivalente a la del texto:

TMSx2x1 = dx2/dx1= - (δu/δx1)/ (δu/δx2) (1)

Ejemplo usando la función de utilidad Cobb-Douglas (CD):

U(x1, x2)=clnx1+ dlnx2

Derivando y sustituyendo en (1):

TMS= (c/x1)/(d/x2)= (c/d) (x2/x1) (2)

Si en vez de usar la CD en logaritmos la usamos en su versión original con exponentes
U(x1,x2)= x_1^c x_2^d y calculamos su TMS usando la ecuación (1):

TMS= cx_1^(c-1) x_2^d /x_1^c d x_2^(d-1) =cx2/dx1 (3)

Note que (2) = (3) ambas tienen la misma TMS por tanto tienen las mismascurvas de indiferencia. Corolario: cualquier trasformación monotónica de una función de utilidad representa la misma utilidad pues la utilidad es ordinal no cardinal





A 10.2 Optimización del consumidor y demandas individuales.

Es muy útil para el trabajo empírico resolver el problema de optimización del consumidor y obtener expresiones algebraicas de funciones de demanda específicas.A 102.1 Demandas individuales de bienes sustitutos y complementos prefectos
Empecemos por los casos más simples, las demandas individuales de los bienes sustitutos y complementos perfectos.

Bienes sustitutos perfectos: demos la solución algebraica y gráfica. La función de utilidad para los sustitutos prefectos es u(x1, x2)= ax1+bx2. Construyamos el caso cuyas curvas de indiferenciastienen pendiente -1, o sea que a=b=1, entonces si p1p1. Ambas son llamadas soluciones de esquina. Si p1=p2 la curva de indiferencia coincide con la recta de presupuesto y se puede consumir en todo el rango de combinaciones x1, x2. Por tanto dada la recta de presupuesto:
x1p1+x2p2=m, la demanda de x1 será:
X2
=m/p1 si p1p2




x1=m/p1X1

Bienes complementos perfectos: demos primero la solución grafica

X2





Punto Óptimo


Recta presupuesto
X1
Note que la elección optima siempre debe estar sobre la diagonal, suponga, para concretar ideas, que X1 es zapato izquierdo y X2 zapato derecho, lo que implica que no importa cuál sea el precio del zapato derecho versus elizquierdo siempre se comprará por pares. La solución algebraica es la siguiente.
Partimos de la función de utilidad de coeficientes fijos e iguales u(x1, x2)= min(x1/a, X2/b),(coeficientes fijos no iguales:1pan,2tajadas de jamón) en este caso asumimos a=b=1. Sabemos que el consumidor compra las mismas cantidades de X1 y X2 no importando sus precios, llamamos a esta cantidad X (pares) por tanto estacantidad tiene que cumplir con la restricción de presupuesto:
P1X+P2X= m
Resolviendo para X tenemos:
X1=X2=X= m/(P1+P2),
esta demanda es muy intuitiva es como la demanda de un solo bien pues los bienes se consumen en conjunto (por pares, por ejemplo).

A10.2.2 Pasemos ahora a derivar demandas en casos más generales.
Representamos las preferencias del consumidor por una función deutilidad U(X1, X2) bien comportada, sabemos que este no es un supuesto muy restrictivo pues representa bien las preferencias del consumidor. Analizaremos tres maneras de resolver el problema

I. Por el capítulo 10 sabemos la solución grafica de este problema de optimización:
TMS(X2, X1)= -(P1/P2)
Sustituyendo y cancelando los signos negativos:
(δU/δX1)/(δU/δX2)=P1/P2 (3)
Sabemos también que...