Matematicas

Media aritmética, media geométrica y otras medias
Desigualdades
Korovkin

Media geométrica y media aritmética
Si x1 , x2 , ... , xn son números positivos, los números
x + x2 + . . . + xn
a= 1
n
n x ⋅ x ⋅ . . . ⋅x
g= 1 2
n
formados a base de ellos, se denominan, respectivamente, media aritmética y media
geométrica de los números x1 , x2 , . . . , xn . Para estos dos números AugustinCauchy,
matemático francés, demostró a principios del siglo XIX la desigualdad
g≤a
que se aplica frecuentemente en la solución de problemas. Demostraremos esta
desigualdad exponiendo previamente una proposición auxiliar.
Teorema 1. Si el producto de unos números positivos x1 , x2 , . . . , xn es igual a
1 , la suma de los mismos no es menor que n :
x1 ⋅ x2 ⋅ . . . ⋅ xn = 1 ⇒ x1 + x2 + . . .+ xn ≥ n
Demostración. Emplearemos el método de inducción matemática1. Comprobaremos
primero que el teorema es válido para n = 2 , o sea, demostraremos que
x1 ⋅ x2 = 1 ⇒ x1 + x2 ≥ 2
Con este fin, consideraremos por separado dos casos:
1) x1 = x2 = 1 .
En este caso tenemos x1 + x2 = 2 y el teorema queda demostrado.
2) 0 < x1 < x2
En este caso tenemos x1 < 1 y x2 > 1 , puesto que el productoes igual a 1. De la
igualdad

(1 − x1 )( x2 − 1) = x1 + x2 − x1 x2 − 1
se deduce que
x1 + x2 = x1 x2 + 1 + (1 − x1 )( x2 − 1)

(4)

La igualdad (4) ha sido establecida sin imponer condición alguna a los números x1 y
x2 . Teniendo en cuenta ahora que x1 x2 = 1 , obtenemos
x1 + x2 = 2 + (1 − x1 )( x2 − 1)
1

Una exposición detallada del método de inducción matemática puede verse en ellibro de I. S.
Sominski “Método de la inducción Matemática” (Editorial MIR, 1975)

Finalmente, puesto que x1 < 1 < x2 , el último número resulta positivo y por eso
x1 + x2 > 2 .
O sea, el teorema queda demostrado para n = 2 . Notemos que la igualdad
x1 + x2 = 2

se cumple sólo si x1 = x2 . En cambio, para x1 ≠ x2 , se tiene
x1 + x2 > 2

Basándonos en el método de inducción matemática,supondremos ahora que el teorema
es válido para n = k , es decir, supondremos que la desigualdad
x1 + x2 + . . . + xk ≥ k

tiene lugar si x1 ⋅ x2 ⋅ ... ⋅ xk = 1 , y demostraremos el teorema para n = k + 1 , o sea,
demostraremos que
x1 + x2 + ... + xk + xk +1 ≥ k + 1

si x1 ⋅ x2 ⋅ … ⋅ xk ⋅ xk +1 = 1 , donde x1 > 0 , x2 > 0 , x3 > 0 , . . . , xk > 0 , xk +1 > 0
Notemos ante todo que siendox1 ⋅ x2 ⋅ . . . ⋅ xk ⋅ xk +1 = 1 ,

se pueden presentar dos casos:
1) todos los factores x1 , x2 , . . . , xk , xk +1 son iguales, o sea:
x1 = x2 = . . . = xk = xk +1
2) no todos los factores son iguales.

En el primer caso todos los factores son iguales a la unidad y la suma de los mismos es
igual a k + 1 , o sea,
x1 + x2 + . . . + xk + xk +1 = k + 1 .

En el segundo caso, entretodos los factores del producto x1 ⋅ x2 ⋅ . . . ⋅ xk ⋅ xk +1 , habrá
números mayores y menores que uno (si todos los factores fueran menores que uno, el
producto también sería menor que uno).
Sea, por ejemplo, x1 < 1 y xk +1 > 1 . Tenemos
( x1 xk +1 ) ⋅ x2 ⋅ . . . ⋅ xk = 1
Poniendo y = x1 xk +1 , obtenemos
y ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ . . . ⋅ xk = 1

Puesto que aquí el producto de k números positivos esigual a la unidad, resulta (por
hipótesis) que la suma de los mismos no es menor que k, o sea
y1 + x2 + . . . + xk ≥ k
Pero
x1 + x2 + . . . + xk + xk +1 =
( y1 + x2 + . . . + xk ) + xk +1 − y1 + x1 ≥
k + xk +1 − y1 + x1 = (k + 1) + xk +1 − y1 + x1 − 1 ,

Recordando que y = x1 xk +1 , obtenemos
x1 + x2 + . . . + xk + xk +1 ≥ (k + 1) + xk +1 − x1 xk +1 + x1 − 1 =

(k + 1) + ( xk +1 − 1)(1 −x1 )
Puesto que x1 < 1 y xk +1 > 1 ., tenemos ( xk +1 − 1)(1 − x1 ) > 0 y, por consiguiente,
x1 + x2 + . . . + xk + xk +1 ≥ (k + 1) + ( xk +1 − 1)(1 − x1 ) > k + 1 .

Con esto queda demostrado el teorema 1.
Problema 1. Demostrar que si x1 , x2 , . . . , xn son números positivos, se tiene
x
x
x1 x2
+ + . . . + n −1 + n ≥ n
x2 x3
xn
x1

con la particularidad de que el signo de...