matematicas

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
Teorema de Bolzano
Sea f : [a, b] ⊂ IR → IR una función continua en [a, b] tal que f (a) · f (b) < 0, es
decir, que tiene distinto signo en a y en b. Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0
El Teorema de Bolzano afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado
y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entoncesexiste al menos una raíz de la función en el interior del intervalo.
Demostración:
Supongamos que f (a) < 0 y f (b) > 0. Sea T el conjunto formado por todos los valores
x / x ∈ [a, b] para los que f (x) < 0. El conjunto T está acotado superiormente por b y,
además, no es vacío ya que a pertenece a T . Por ello el conjunto T tiene un extremo
superior c. Se cumple que f (c) = 0. Veamoslo:
Si f(c) > 0, entonces por la propiedad de la conservación del signo de las funciones
continuas existiría un intervalo (c − δ, c + δ) en el que la función sería también positiva.
En este caso existirían valores menores que c que servirían de cota superior de T y por
ello c no sería el extremo superior de T como hemos supuesto.
Si f (c) < 0, entonces existiría un intervalo (c − δ, c + δ) en el que lafunción sería
negativa y por tanto existirían valores de x a la derecha de c para los que la función sería
negativa y por tanto c no sería el extremo superior de T . Por tanto f (c) tiene que tomar
el valor cero: f (c) = 0.
Si f (a) > 0 y f (b) < 0 el razonamiento es similar.

De forma más general obtenemos El Teorema del Valor Intermedio:

El Teorema del Valor Intermedio
Sea f : [a, b]⊂ IR → IR continua en [a, b], y tal que f (a) < f (b) entonces, para
cualquier k tal que f (a) < k < f (b) existe x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = k
Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en
un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo,
entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.
Demostración:
Para lademostración aplicamos el teorema de Bolzano en la función g(x) = f (x) − k,
la cual es continua, por serlo f (x), g(a) < 0 y g(b) > 0. El teorema nos permite afirmar
que existirá c ∈ (a, b) tal que g(c) = 0 y en consecuencia f (c) = k.

El método de la bisección se basa en estos teoremas y se emplea para aproximar
ceros de funciones.
Supóngase que queremos encontrar los ceros de una función f(x) continua. Dados
dos puntos a y b tal que f (a) y f (b) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema
de Bolzano que f (x) debe tener, al menos, una raíz en el intervalo [a, b]. El método de
(a + b)
bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto c =
. En este momento,
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existen dos posibilidades: f (a) y f (c), ó f (c) y f (b) tienen distinto signo. El método debisección se aplica al subintervalo donde el cambio de signo ocurre. Este proceso puede
aplicarse tantas veces como sea necesario para alcanzar la precisión que se requiera.
Páginas web relacionadas con el tema:
(1) http://www-ma3.upc.edu/users/carmona/teaching.html
Podréis encontrar un gráfico ilustrativo del método de la bisección.
(2) http://www.vitutor.com/fun/3/c 3.html
Podréis encontrar elenunciado del Teorema de Bolzano y ejercicios resueltos.
(3) http://www.matematicasbachiller.com/temario/sel/enuncia/seten07.htm
Los videos 7.09, 7.10 y 7.11 están relacionados con el Teorema de Bolzano. Aparece
algo llamado la propiedad de Darboux que no es más que el Teorema de los valores
intermedios.

Ejemplo 1.- Se considera la función f : IR → IR continua y acotada. Demostrar que
laecuación f (x) − x = 0 tiene al menos una raíz real.

Consideramos la función h(x) = f (x) − x. Dicha función es continua por ser diferencia de
funciones continuas. Por ser f acotada en IR existe un M ∈ (0, +∞) tal que
−M < f (x) < M para todo x ∈ IR.
Por tanto, para todo x ∈ IR tenemos que f (x) − M < 0 y f (x) + M > 0 y en consecuencia
h(M ) = f (M ) − M < 0
h(−M ) = f (−M ) + M > 0.
Por...