Matematicas

PROBLEMAS RESUELTOS DE SUPERFICIES
E. Bendito, A. Carmona y A. M. Encinas

Problema 1: Sea S la superficie x (u, v) = (u3 sen3 v, u3 cos 3 v, (a2 −u2 )3/2 ), donde a es una constante. Llamamos p1 , p2 , p3 a los puntos en los que un plano tangente a S arbitrario corta a los ejes de coordenadas. Probar que al variar los planos tangentes, |p1 |2 +|p2 |2 +|p3 |2 = cte. Solución: Calculamos enprimer lugar la base del tangente en un punto arbitrario Tp (S) = x u , x v , con x u = (3u2 sen3 v, 3u2 cos 3 v, −3(a2 − u2 )1/2 u) y x v = (3u3 sen2 v cos v, −3u3 cos 2 v sen v, 0). El plano del tangente estarás dado por, x − u3 sen3 v 0 = 9u4 u sen3 v sen2 v cos v y − u3 cos 3 v u cos 3 v − cos 2 v sen v z − (a2 − u2 )3/2 −(a2 − u2 )1/2 0 = −x cos 2 v sen v(a2 − u2 )1/2

−y sen2 v cos v(a2 − u2)1/2 − zu sen2 v cos 2 v + a2 u(a2 − u2 )1/2 sen2 v cos 2 v, es decir, x(a2 − u2 )1/2 cos v + y(a2 − u2 )1/2 sen v + zu sen v cos v = a2 u(a2 − u2 )1/2 sen v cos v. Por tanto, los puntos de intersección con los ejes son, p1 = a2 u sen v, p2 = a2 u cos v y p3 = a2 (a2 − u2 )1/2 . Finalmente, |p1 |2 + |p2 |2 + |p3 |2 = a6 . Problema 2: Se supone que un entorno coordenado de una superficie S puede serparametrizado por x (u, v) = α1 (u) + α2 (v), donde α1 y α2 son curvas regulares. Demostrar que los planos tangentes a S a lo largo de una curva coordenada son paralelos a una recta fija. Solución:

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La base del espacio tangente está formada por, Tp (S) = x u (u, v), x v (u, v) = α1 (u), α2 (v) . Fijando la variable u obtenemos las curvas coordenadas de u = u0 = cte. La expresión deltangente en un punto de la curva p = x (u0 , v) es, Tp (S) = x u (u0 , v), x v (u0 , v) = α1 (u0 ), α2 (v) . Como el vector de la base α1 (u0 ) es constante, los planos tangentes son paralelos a esta recta a lo largo de la curva coordenada u = cte . De forma análoga obtendriamos el mismo resultado para las curvas coordenadas v = v0 = cte . Problema 3: Sean las superficies S1 = S2 = S3 = {(x, y, z) ∈IR3 : Ax + By + Cz + D = 0, A, B, C, D ∈ IR, A2 + B 2 + C 2 > 0}, {(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y 2 = z 2 , z > 0}, {(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y 2 = z},

y Ni : Si → S 2 , i = 1, 2, 3, la aplicación de Gauss correspondiente a cada superficie. (i) Describir el lugar geométrico de S 2 dado por Ni (Si ), i = 1, 2, 3. (ii) Calcular la primera y la segunda forma fundamental de Si y analizar la dimensión de Ni(Si ), i = 1, 2, 3. (iii) Calcular la curvatura gaussiana de Si , i = 1, 2, 3. Solución: (i) Consideramos las aplicaciones normales para i = 1, 2, 3 dadas por Ni : Si p −→ S 2 −→ Ni (p)

• i = 1. Podemos suponer que C = 0, entonces una parametrización de S1 está dada por x (x, y) = x, y, − Por tanto, xx = 1, 0, − A C , xy = 0, 1, − B C y N1 = √ A2 1 (A, B, C). + B2 + C 2 1 D + Ax + By . CComo N1 es constante en S1 el lugar geométrico es un punto de S 2 .

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• i = 2. En este caso una parametrización de S2 \ {(x, y, z) ∈ S2 : y = 0, x > 0} en coordenadas esféricas es, √ y (θ, ρ) = Por tanto, yθ = √ y N2 = √ 2 2 ρ sen θ, ρ cos θ, 0 , y ρ = − 2 2 √ √ √ √ 2 2 2 cos θ, sen θ, 2 2 2 √ √ 2 2 2 ρ cos θ, ρ sen θ, ρ . 2 2 2

√ √ 2 2 2 cos θ, sen θ, − 2 2 2 punto (

, es decir, para θ∈ (0, 2π), N2 es el paralelo ϕ = que a su vez es la imagen por N2 de {(x, y, z) ∈

3π 4 , ρ = 1, salvo el S2 : y = 0, x > 0}.

√ √ 2 2 2 , 0, − 2 ),

• i = 3. En este caso una parametrización de S3 es, z (x, y) = x, y, x2 + y 2 . Por tanto, z x = (1, 0, 2x), z y = (0, 1, 2y) y N3 = 1 4(x2 + y2 ) + 1 (2x, 2y, −1).

Describimos N3 en coordenadas esféricas. Debemos tener en cuenta que x2 + y 2= z en cos ϕ coordenadas esféricas es, ρ sen2 ϕ = cos ϕ, por tanto, ϕ ∈ (0, π/2), de donde ρ = , sen2 ϕ ya que sen ϕ > 0. Por tanto, N3 = 1 3 cos 2 ϕ + 1 (2 cos ϕ cos θ, 2 cos ϕ sen θ, − sen ϕ).

Para estudiar el lugar geométrico debemos analizar las funciones, f (ϕ) = − sen ϕ 3 cos 2 ϕ + 1 y g(ϕ) = 2 cos ϕ 3 cos 2 ϕ + 1 .

Ya que debemos conocer la variación de z = f (ϕ) y del radio...