matematicas

INTRODUCCION
La fórmula de Euler proviene del truncamiento de esta fórmula a partir del segundo término con lo cual el error cometido en la aproximación de la función es notable.
Habrá casos donde el error sea despreciable pero en muchos otros no será así.
Existen métodos mucho más robustos, que evalúan 4 o 5 derivadas por iteración, que aún haciendo el coste computacional de la aplicaciónmás alto, dan unos resultados físicamente casi correctos y visualmente geniales.
Dos matemáticos alemanes, Runge y Kutta, desarrollaron diversos algoritmos para resolver ecuaciones diferenciales eficientemente y manteniendo siempre un error mínimo.
Con uno de sus métodos, el Runge-Kutta de orden 4, se consigue mejorar mucho el método de Euler. De hecho Euler es un Runge-Kutta de orden 2. Elproblema es que Euler avanza el sistema un intervalo de tiempo h usando la información de la derivada sólo al principio del intervalo. Con el RK4 se evaluan cuatro derivadas distintas, una al principio del intervalo, otra al final y dos en el medio. Después se promedia todo y se obtiene algo que se parece mucho a lo que realmente debiera ser.















MÉTODO DE EULER 
La idea delmétodo de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.
Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valorde la recta tangente en el punto  como una aproximación al valor deseado  . 

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial  dada   en el punto  . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es: 
                                                 
donde  m  es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente dela recta tangente se calcula con la derivada:
 
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es : 
 
Ahora bien, suponemos que    es un punto cercano a  , y por lo tanto estará dado como  . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: 
 
Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño,digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de  h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia   en  n  partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en  n  pasos, aplicando la fórmulaanterior  n  veces de un paso a otro, con la nueva  h  igual  a  .
En una gráfica, tenemos lo siguiente: 

Ahora bien, sabemos que: 
 
Para obtener    únicamente hay que pensar que ahora el papel de   lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que: 
 
De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por: 
 
Esta es la conocidafórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de   aplicándola sucesivamente desde    hasta   en pasos de longitud  h. 
Ejemplo
Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial: 

Aproximar  .

NOTA
Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación devariables. Veamos las dos soluciones. 
Solución Analítica.
 
   
   
   
Sustituyendo la condición inicial: 

    
 
Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada: 

 
     
Y por lo tanto, el valor real que se pide es:  

Solución Numérica
Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre   y   no es lo suficientemente...