Matematicas

Probabilidad I

Tarea 8

Entrega: 20 de Mayo

1. Sea X una variable aleatoria discreta con valores {0, 1, 2, ...} y con segundo
momento finito. Demuestre que:
∞

P [X ≥ n]

E[X] =
n=110 pts.

2. Sea X una variable absolutamente continua con funci´n de densidad:
o
fX (x) =

x
x2
exp − 2
σ2
2σ

I(0,∞) (x)

σ>0

Demuestre que la moda de la distribuci´n es σ, lamediana de la distribuci´n es
o
o
σ ln(4), y la media es σ π/2. Para esta ultima de por hecho que:
´
√
∞
π
−t2
e dt =
2
0
15 pts.

3. Sea X con distribuci´n binomial de par´metros n y p.Demuestre que:
o
a
E

1
1 − q n+1
=
X +1
(n + 1)p
10 pts.

4. De acuerdo con su experiencia, un profesor sabe que la calificaci´n de un
o
estudiante en su examen final es una variable aleatoriaX con esperanza 85.
a) Obtenga una cota superior para la probabilidad de que la calificaci´n de
o
un estudiante exceda 95.
b) Suponga ahora que se sabe que la varianza de X es 25, ¿Qu´ se puededecir
e
acerca de la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificaci´n
o
entre 75 y 95?
7.5 pts.

5. Sea X una variable aleatoria discreta con funci´n de masa de probabilidad:
o

1/18 si x = −1, 1,
16/18 si x = 0,
fX (x) =

0 en otro caso.
Demuestre que el valor exacto de la probabilidad P [|X − µ| ≥ 3σ] coincide con
la estimaci´n dada por la desigualdad de Chebyshev.Este resultado demueso
tra que, sin hip´tesis adicionales, la cota superior dada por la desigualdad de
o
Chebyshev es ´ptima.
o
7.5 pts.

Probabilidad I

Tarea 8

Entrega: 20 de Mayo

6.Sea X una variable aleatoria con cuarto momento finito y a, b ∈ R − {0}.
Pruebe que la curtosis de X y aX + b son iguales. Adem´s, verifique que el
a
coeficiente de asimetr´ de aX + b es el signo de apor el coeficiente de asimetr´
ıa
ıa
de X. ¿Qu´ interpretaci´n tiene este resultado?
e
o
10 pts.

7. Calcule la generadora de momentos de la variable aleatoria X,si la funci´n
o
de densidad...