matematicas

La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de dominios enteros (anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por"no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los números enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch:

La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias.2

El término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoríade números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética,3 aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoríade números son llamados teóricos de números.

Índice

1 Campos
1.1 Teoría elemental de números
1.2 Teoría analítica de números
1.3 Teoría de números aditiva
1.4 Teoría algebraica de números
1.5 Teoría geométrica de números
1.6 Teoría combinatoria de números
1.7 Teoría computacional de números
2 Historia
3 Véasetambién
4 Referencias
5 Enlaces externos

Campos

Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas.
Teoría elemental de números

En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números lascuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan laspropiedades de las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y los números de F.

Diversos cuestionamientos dentro de la teoría elemental de números parecen simples, pero requieren consideraciones muy profundas y nuevas aproximaciones, incluyendo las siguientes:

Conjetura de Goldbach sobreque todos los números pares (a partir de 4) son la suma de dos números primos.
Conjetura de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos.
Último teorema de Fermat (demostrado en 1995 por Andrew Wiles).
Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann, íntimamente conectada con el problema de la distribuciónde los números primos.

Teoría analítica de números

La teoría analítica de números emplea como herramientas el cálculo y el análisis complejo para abordar preguntas acerca de los números enteros. Algunos ejemplos de esta son el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann. El problema de Waring, la conjetura de los números primos gemelos y la conjetura de Goldbach también estánsiendo atacados a través de métodos analíticos.
Teoría de números aditiva

La teoría de números aditiva trata de una manera más profunda los problemas de representación de números. Problemas típicos son los ya nombrados, problema de Waring y la conjetura de Goldbach. Esta rama se suele utilizar algunos resultados referentes a la teoría analítica de números, tales como el método del círculo de...