Matematicas

UNIDAD 1 LOGICA MATEMATICA
1.1_ PROPOSICIONES
Dominio de la variable
El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lo llamaremos el Dominio de la variable. El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposiciónabierta p(x). ==
Proposición conjuntiva
A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo conjunción (), la llamaremos proposición conjuntiva; p q, teniendo un valor de verdad verdadero, sólo cuando ambas componentes sean verdaderas, es decir, si al menos una de las componentes es falsa, entonces la proposición p q es falsa.

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera,entonces definiremos el conjunto A intersección B, que anotaremos por A ∩ B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al B, o sea, los elementos que tienen en común:
A ∩ B = { x / x ∈ A x ∈ B }
Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) () q(x) es P ∩ Q.
El conjunto vacío que anotaremos Ø es elconjunto que no tiene elementos.
Pudiéndose anotar: Ø = { x / x ∈ A x ∉ A }
Proposición disjuntiva
Para indicar que dos proposiciones están conectadas con la letra "o" se utiliza el símbolo , llamado conectivo disyuntivo. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo disyunción (), la llamaremos proposición disyuntiva p q. p q tendrá un valor de verdad falsosólo cuando ambas componentes sean falsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera, entonces p q es verdadera.
Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unión B, que anotaremos por A ∪ B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. A ∪ B = { x / x ∈ A x ∈ B }
Un elemento del resultado puede pertenecer a uno solo de losdos conjuntos o a los dos conjuntos dados, pero en este caso dicho elemento se considera una sola vez. Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) q(x) es P ∪ Q

1.1.1_ proposiciones simples y compuestas
Proposiciones simples y compuestas.
(Proposiciones simples y compuestas)
Proposiciones simples son aquellas queno poseen operador logico alguno. Las proposiciones compuestas estan formadas por otras proposiciones y operadores logicos.
Ejemplo: 1.20 Traduccion al lenguaje simbolico.
Traduzca al lenguaje simbolico la proposicion:
"Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los indices de asalto en la ciudad y el turismo se desarrolla. Los indices de asalto no disminuyen, pero la seguridad privada esefectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla".
Solucion:
Se puede identificar las siguientes proposiciones simples:

a: La seguridad privada es efectiva.

b: Los indices de asalto disminuyen en la ciudad.

c: El turismo se desarrolla.

Los operadores logicos que se encuentran presentes en esta proposicion compuesta son la condicional, la conjuncion y la negacion.

La traduccion es:[(a→(b^c))^(¬b^a)]→(¬c)

1.1.2_ términos de enlace de proposiciones.
Claramente al utilizar un término de enlace entre dos o más proposiciones atómicas obtendremos proposiciones compuestas.
Observemos que el término de enlace NO actúa sobre una sola proposición, mientras que los demás términos de enlaces actúan sobre dos proposiciones.
Algunos ejemplos en las que utilizan los términos deenlace son los siguientes
* SI estamos en diciembre ENTONCES pronto llegará la navidad.
* Hoy es lunes Y hay clases.
* El viento arrasará las nubes O lloverá con seguridad.
* NO tendremos clase en el día de hoy.
Vamos a simbolizar cualquier proposición con las letras p, q, r, s, t, etc..
La regla fundamental de la lógica es:
La ley del medio excluido: Toda proposición debe ser...