Matematicas

DISTANCIAS DEL BARICENTRO A CADA VÉRTICE
 
15.87  En un triángulo acutángulo ¿puede el ortocentro hallarse fuera del triángulo?
Respuesta: No, es preciso que el triángulo sea obtusángulo (que uno de sus ángulos sea mayor que 90º).
15.88  ¿Puede el incentro  hallarse fuera del triángulo? Razona la respuesta.
Respuesta: No. El incentro es el punto donde se cortan las bisectrices del triángulo.Ese punto es el centro de la circunferencia inscrita y por lo tanto, equidista, está a igual distancia de los tres lados.
15.89   Dibuja el baricentro, circuncentro y ortocentro de dos triángulos. ¿Qué puedes afirmar después de comprobarlos en los dos triángulos sobre la situación o colocación de esos tres puntos?
Respuesta: Se hallan situados en la misma línea.
Comprobación:

En color ciantienes trazadas las alturas que se encuentran en el punto 1, en el punto 2, baricentro (color magenta)se cortan las medianas y en el punto 3, el circuncentro (color verde), se cortan las mediatrices.
Puedes comprobar que los tres puntos forman parte de una recta (color gris).
 En el ejemplo siguiente en el que tenemos un triángulo obtusángulo, también comprobamos que los tres puntos solicitadosse encuentran sobre la misma línea.

Los lados del triángulo en color blanco.
El ortocentro en cian fuera del triángulo. Observa que las alturas son perpendiculares a las prolongaciones de los lados opuestos.
El baricentro en magenta en el interior del triángulo.
El circuncentro en verde fuera del triángulo.
15.90  Sirviéndote de una regla y un compás dibuja un triángulo cuyos lados midanexactamente 4, 6 y 8 cm   calcula su baricentro. Comprueba con la regla que las distancias: OA es el doble de ON, OB es el doble de OR y OC el doble de OM.
Respuesta:

Solución:
Para dibujar un triángulo, sirviéndote de regla y compás cuyos lados midan, exactamente, 4 cm., 6 cm. y  8 cm., primero dibuja un segmento horizontal de  4 cm .

Con centro en el extremo B del segmento y con un radiode 6 cm traza un arco como tienes a continuación:

Con centro en el extremo A del segmento anterior y con un radio de 8 cm traza un arco como tienes a continuación:

Unimos el punto de corte O de ambos arcos con los extremos del segmento :

Para hallar el punto medio de un lado puedes hacer lo siguiente:
1.- De los extremos del lado AO, haciendo centro en A y con un radio de 5 cm. trazo elarco y con el mismo radio, haciendo centro en O trazo el arco

2.- Uno con una recta los dos puntos de corte de ambos arcos:

y de este modo calculo el punto medio del segmento AO que será el punto K.
La mediana relativa al vértice B será la línea que une este vértice con el punto K que es la mitad del lado opuesto AO, es decir, BK

De igual modo dibujas las otras medianas obteniendo lafigura en la que quedan representadas todas las medianas y su punto de encuentro en O:

15.91  ¿Podemos decir que el baricentro y el ortocentro coinciden en un triángulo equilátero? Demuestra que es cierta tu respuesta dibujando con una regla y un compás. Si los dibujos, con triángulos del mismo tamaño y en papel transparente, por separado, podrías ver las coincidencias si les superpones.Respuesta: Sí coinciden.
Demostración:
Dibujamos dos triángulos equiláteros iguales.

En el primero trazamos las medianas (líneas que partiendo de un vértice llegan al punto medio del lado opuesto- en color azul-).En el segundo dibujamos las tres alturas del triángulo (segmentos que unen perpendicularmente cada vértice con el lado opuesto (en color verde).
Hemos superpuesto (poner un triánguloencima del otro) ambos triángulos y notarás que las líneas coinciden, en cambio, los valores de los ángulos que han sido colocados a distintas distancias de sus vértices no. Que coincida o no el texto no importa, son las medianas con las alturas, el ortocentro con el baricentro, los vértices y lados  de cada triángulo quienes tienen que coincidir.  
15.92   En un triángulo equilátero ¿coinciden...