Matematicas

Sucesion de Fibonacci

En matemática, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0 y 1, y apartir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.
A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemáticoitaliano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.

Función generadora
Una función generadora parauna sucesión cualquiera es la función , es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
(4)
Cuandoesta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que senecesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores)notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales
y
El polinomio característico de esta relación de recurrencia es , y sus raíces son

Deesta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes y satisfacen la ecuación anterior cuando y ,es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
(5)
Parasimplificar aún más es necesario considerar el número áureo

de manera que la ecuación (5) se reduce a
(6)
Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción...