Matematicas

La cicloide
Programa 1: La cicloide es la curva que traza un punto situado en el borde de un círculo que rueda sin resbalarse sobre una recta. |
Conviene comenzar con el caso más sencillo que es el de la cicloide, cuyo nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo’, junto con el sufijo , que quiere decir 'semejante a’. Imagine el lector que un círculo, de radio b, se hace rodar, sin quese resbale, sobre una línea recta y que en el borde del círculo hay un punto que se destaca. Pues bien, la cicloide es la curva que traza tal punto en el plano del movimiento del círculo. Esta definición puede parecer muy complicada, pero resulta fácil de entender mediante el siguiente programa de animación en el que el lector puede graduar a su gusto el valor de la constante b arrastrando con elratón el pequeño cuadro naranja.
Ecuaciones paramétricas de la cicloide.
No es muy difícil obtener unas ecuaciones paramétricas que representen la cicloide. Para que las cosas resulten sencillas conviene considerar que el círculo rueda hacia la derecha sobre el eje x y que el punto que sirve para trazar la cicloide está situado inicialmente en el origen de las coordenadas, tal como sucede en elprograma de animación anterior (Programa 1). En la figura de la derecha (Figura 2) se ha representado la situación que se produce un poco después de que el círculo ha empezado a rodar. Lo más natural es escoger como parámetro la medida t en radianes del ángulo , pues ésta corresponde al ángulo de rotación del círculo. Así que nuestro problema se reduce a expresar las coordenadas  del punto P enfunción de t o, dicho de otro modo, hallar una función de trayectoria  tal que .
La observación crucial que hay que hacer al respecto es que la medida del segmento de recta OR, en azul en la Figura 2, es igual a la medida del arco PR, también en azul, puesto que el círculo rueda sin resbalarse. Ahora bien, la medida del arco PR es bt, de manera que tenemos:Parametrización de la cicloide.


Ahora bien,   y  , con lo llegamos
A las ecuaciones buscadas:

Hay algo que explicar en esta parametrización. Si se mira bien, estas ecuaciones pueden verse como el resultado de sumar dos pametrizaciones distintas, pues el punto puede ponerse en la forma:

La cicloide puede verse como la suma de dos trayectorias.

Lacicloide puede verse como la suma de dos trayectorias.
Es decir que  donde  y . El primer término de esta suma es . Aparece representado en verde en la Figura 3 y corresponde a la trayectoria de un punto que se mueve hacia la derecha a lo largo de la recta horizontal , comenzando en el punto  para cuando . Por cada unidad de t el punto se mueve  hacia la derecha. Por otro lado, el segundotérmino de la suma es . Aparece en azul en la Figura 3 y corresponde a la trayectoria que sigue un punto que se mueve en una circunferencia con centro en  y radio b en el sentido de las manecillas del reloj empezando en el punto , para cuando . Al sumarse estas dos trayectorias, el resultado es que el punto va girando en el sentido de las manecillas del reloj mientras el centro de la circunferencia semueve horizontalmente en la recta horizontal y estos dos movimientos combinados van produciendo la cicloide. En la gráfica siguiente (Figura 4) se han anotado algunos de los puntos por los que pasa la cicloide y junto a ellos, en rojo, el valor del parámetro t que les corresponde.


Sobre la gráfica de la cicloide semuestran en rojo algunos valores
del parámetro t y en negro los puntos que les corresponden
Propiedades de la cicloide.
Examinemos en primer lugar las tangentes de la cicloide. Para esto calculemos

Que es una función de t. En la Figura 5 aparece en color rojo la gráfica de esta función junto con la cicloide que se ha sobrepuesto en azul. Es claro que las tangente son horizontales cuando ,...