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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones y de inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
⎧ f ( x, y ) = 0
Se considera un sistema formado por dos ecuaciones con dos incógnitas ⎨
⎩g(x, y ) = 0

Método deresolución gráfica
Se basa en la representación gráfica en el plano de los conjuntos de soluciones S1 y S2 de cada una
de las ecuaciones que componen el sistema, para después buscar los puntos comunes a ellos, es
decir, S1 ∩ S2.
En el caso de que S1 ∩ S2 = ∅, el sistema no tiene solución.
⎧x − y − 1 = 0
Ejemplo 2: Resolver gráficamente el sistema ⎨
⎩2 x + y − 2 = 0
En primer lugar serepresenta los conjuntos soluciones de cada una de las ecuaciones. En este caso, como el sistema es lineal
estos conjuntos S1 y S2 son rectas del plano.
Para dibujar la recta S1 basta conocer dos puntos por los que pasa:
Si tomamos x = 0 y sustituimos en la primera ecuación obtenemos y = -1.
Si tomamos x = 1 y sustituimos en la primera ecuación obtenemos y = 0.
Luego la recta solución de la primeraecuación es la que une los puntos (0, -1) y (1, 0).
Análogamente procedemos para calcular la recta solución de la segunda ecuación:
Si tomamos x = 0 y sustituimos en la segunda ecuación obtenemos y = 2.
Si tomamos x = 1 y sustituimos en la segunda ecuación obtenemos y = 0.
Dibujando ambas rectas se observa que el único punto en el que se cortan es el (1, 0), que es la solución del sistema.

©Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones y de inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

El inconveniente de este método es que en algunos casos no se ve claramente cuales son las
coordenadas del punto o puntos deintersección. Por ello recurriremos a otros métodos más
analíticos.

Método de igualación
Consiste en despejar de las dos ecuaciones del sistema la misma incógnita e igualar las expresiones
obtenidas. Como resultado de ello se obtiene una ecuación con una incógnita que se ha de resolver.
Las soluciones de esta ecuación se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones iniciales para obtener
losvalores de las otras incógnitas.
⎧⎪2 x 2 − y = 1
Ejemplo 3: Resolver el sistema no lineal ⎨
⎪⎩6 x + y = −5
⎧⎪y = 2 x 2 − 1
⎨
⎪⎩y = −5 − 6 x

Despejando la variable y de las dos ecuaciones queda

2 x 2 − 1 = −5 − 6 x

Igualando estas dos expresiones se obtiene

Pasando todos los sumandos al primer miembro queda

2 x2 + 6 x + 4 = 0

Resolviendo esta ecuación de segundo grado seobtiene

x =

⎧ −1
−6 ± 2
−6 ± 36 − 32
= ⎨
=
4
4
⎩ −2

Sustituyendo estos valores de x en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en la segunda, se obtiene:
x = -1 ⇒ y = -5 + 6 = 1

x = -2 ⇒ y = -5 +12 = 7

Luego las soluciones del sistema son (-1, 1) y (-2, 7).

Método de sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir la expresión obtenidaen la
otra. De esta forma se obtiene una ecuación con una incógnita que una vez resuelta nos
proporciona los valores de dicha incógnita. Sustituyendo estos valores en la expresión obtenida al
despejar la otra incógnita, permite encontrar la solución buscada.
⎧2 x − 6y + 3 = 0
Ejemplo 4: Resolver el sistema ⎨
⎩ x + 5y − 1 = 0

Para buscar su solución por el método de sustitución se eligeuna incógnita para despejarla, en este caso lo más sencillo es
despejar x de la segunda ecuación quedando x = 1 − 5y .
Sustituyendo esta expresión en la primera ecuación se obtiene 2(1 − 5y ) − 6y + 3 = 0 , es decir, −16y + 5 = 0 .

Despejando y se obtiene

y =

5
.
16

Al sustituir este valor en x = 1 − 5y queda
Luego la solución del sistema es x = −

x =1−5

5
9
.
=−
16
16...