Matematicas

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Fractal
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de unobjeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.
Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la

CARACTERISTICAS:
*Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
* Es auto similar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.

Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de autosimilaridad:
* Fractales naturales, son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticoscon autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).
* Conjunto de Mandelbrot, es un fractal autosimilar, generado por elconjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
* Paisajes fractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.
* Fractales de pinturas.-Se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.
* Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.* Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

Los ejemplos clásicos
Aparecieron ejemplos con una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjuntofractal.

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Características de un fractal
Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.5
Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:
* Autosimilitud exacta. este esel tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).
* Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. MatemáticamenteD.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
* Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos defractales de este tipo.

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch
Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo...