Matematicas

MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
Tema 1. DERIVADAS. RECTAS TANGENTE Y NORMAL.

Conceptos previos: Función. Dominio de una función. Continuidad de una función.
Derivada de una función en un punto y función derivada. Dominio de derivabilidad de una función.
Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
Relación entre continuidad yderivabilidad de una función en un punto.
IPEP de Granada

Dpto. de Matemáticas
Tema 1. DERIVADAS. RECTAS TANGENTE Y NORMAL.

Conceptos previos: Función. Dominio de una función. Continuidad de una función.
Dominio de una función http://www.vitutor.com/fun/2/a_2.html
El dominio es el conjunto de elementos quetienen imagen.


Conjunto inicial Conjunto final
Dominio Conjunto imagen o recorrido
Estudio del dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera
El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.
Ejemplo
f(x)= x2 - 5x + 6             D=R

Dominio de la función racional
El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyodenominador sea cero).
Ejemplo

Dominio de la función irracional de índice impar
El dominio es R.
Ejemplos
1.
2.

Dominio de la función irracional de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Ejemplos
1.

2.

Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que hacen queel la función contenida dentro del logaritmo sea mayor que cero.
Ejemplo

Ejemplos


Concepto de continuidad de una función: discontinuidades.
Las tres posibilidades de discontinuidad.
 
 
 

 Discontinuidad evitable
 Discontinuidad de salto infinito
Discontinuidad de salto finito
Vamos a comenzar con la primera. ¿Por qué se produce una discontinuidad evitable?
Si te fijas enla primera gráfica, si nos acercamos en el eje X a 1, la función, tanto por la izquierda como por la derecha de 1, se acerca a -7. El problema está en que justo cuando llegamos al valor x=1, la función se va al 2 en lugar de -7. Por tanto, lo que ocurre aquí es que límite e imagen de la función no coinciden:

Si te fijas, en todos los otros puntos esto sí se cumple, el límite de la funcióncoincide con el valor de la imagen.
La segunda discontinuidad que aparece es la de salto infinito. ¿Por qué en x=3 hay una discontinuidad de salto infinito? La respuesta es clara, porque cuando nos acercamos a x=3, la función se va hacia infinito; a -∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha, o sea, cuando al hacer el límite en el punto el resultado es infinito: 

 Si recuerdas, esto ocurría en lasindeterminaciones k/0.
Por último, la tercera gráfica no es continua porque en x=1 hay un salto. ¿Qué es lo que ocurre para que haya esa discontinuidad de salto finito? Pues que cuando nos acercamos a 1, la función se acerca a distintas cosas según por el lado que lo hagamos, por la izquierda se acerca a -7 y por la derecha a 3. Luego, lo que ocurre, es que los dos límites laterales existen,son números reales, pero no coinciden.

  Si te fijas en todos los otros puntos esto sí se cumple, los límites laterales coinciden.

Importante
Teniendo en cuenta lo que acabamos de ver, una función es continua en x = a si:
1. Existe f(a).
2. Los dos límites laterales existen, son números reales y coinciden.
3. El valor del límite coincide con el de la imagen.
Esas tres propiedades seresumen en:






Derivada de una función en un punto y función derivada. Dominio de derivabilidad de una función.
Importante
Si tenemos una función llamamos derivada de la función en un punto a la tasa de variación instantánea de la función en el punto y se denota . Así, según la definición tenemos que:

Recuerda que para que exista este límite, deben existir los límites...