Matematicas

“Ajuste de ecuaciones a curvas”

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Ajuste de ecuaciones a curvas: introducción a la regresión lineal y no lineal
(F.J. Burguillo, Facultad de Farmacia, Universidad de Salamanca)

Introducción al ajuste de ecuaciones a curvas
• Tipos de Modelización Matemática • Fundamentos teóricos de la regresión lineal y no lineal • Ejemplos en Ciencias Experimentales

1) Si hay alguna técnica quecon mayor frecuencia utilizan los investigadores ésta es la regresión, incluso muchos de ellos usan casi exclusivamente la regresión no lineal. Conviene pues estudiar los fundamentos de esta técnica. En esta sesión se analizarán los distintos tipos de modelos matemáticos que se suelen emplear en el ajuste de curvas, se revisarán los fundamentos de la regresión lineal y no lineal por mínimoscuadrados y se pondrán varios ejemplos sobre el ajuste de modelos a datos experimentales. 2)
El ajuste de curvas surge cuando el investigador trata de interpretar los datos de un experimento. Pensemos por ejemplo en una reacción enzimática (diapositiva 2). Los resultados se describen mejor cuando se encuentra una ecuación que se ajusta a los datos. Ese es el objetivo de la Modelización Matemática:obtener ecuaciones que describan el comportamiento de los sistemas. Estas ecuaciones pueden ser de dos tipos: empíricas (Modelización Empírica) o deducidas en base a una teoría física (Modelización Teórica).

Diapositiva 1
¿Cómo interpretar los datos de un experimento?
[S] : 1.2 Reacción Enzimática v: 5.2 6.3 7.2 8.4 9.4 9.5

4.3 5.4 7.2

Describir el sistema
Cuantitativa (ecuación) Cualitativa(palabras)

v (S)

v (S)
Modelización Empírica

y = f(x)

Modelización Teórica

v = a + b[S] + c[S]2

E + S ⇔ ES → P + E v= Vmax [S] KM + [S]

Diapositiva 2

2

“Ajuste de ecuaciones a curvas”

Modelización Empírica
Situación: Estímulo
Sistema
(Mecanismo desconocido)

Respuesta

Ecuación empírica Interés: •Supone una cuantificación •Permite: calibración, predicción…Ecuaciones : Polinomios :

y = a + bx + cx 2 y = ∑ (a + bx + cx 2 + dx 3 )i

Cubic splines :

Trampas : • Diferentes ecuaciones ajustan datos (no significado fisico) • Aumento de parámetros mejora ajuste (hiperajuste)

Diapositiva 3

3) La Modelización Empírica trata de encuentrar una ecuación cualquiera que cierre con los datos del sistema, independientemente de que esa ecuación tenga ono significado físico sobre lo que está ocurriendo en el sistema. Supone ya una cierta cuantificación y permite aspectos operacionales como la calibración, predicción y simulación. Por otra parte, unos mismos datos se pueden interpretar igualmente bien con diferentes ecuaciones, pero conviene elegir siempre aquellas que tenga menor número de parámetros.
Los modelos empíricos más habituales sonlos polinomios de distinto grado y los tramos de cúbicas (cubil splines). Algunas de sus ventajas e inconvenientes aparecen recogidos en la diapositiva 4.

4)

Modelos empíricos habituales
Polinomios y n = a + bx + cx 2 + ...nx n

• Adecuados para curvas suaves en calibración • Adecuados para datos sin mucho ruido • Cuidado porque son demasiado flexibles (hiperajuste)

Cubic splines y = ∑(a + bx + cx2 + dx 3 )i
Nudo 2 Nudo 1

• Adecuados para datos con ruido (por ej. en calibración) • Subjetividad al elegir el nº de nudos (hiperajuste)

Diapositiva 4

Modelización Teórica
En ecuaciones algebráicas

5)

En ecuaciones diferenciales E* + S E*S E

+L
M0

+L
M1

K1

K2

M2

E

P

[M1] K1 = [M0] [L]
y=

[M2] K2 = [M1] [L]

K1[L] + 2K1K2[L]2 2(1 + K1[L]+ K1K2[L]2 )

d[ES*] = k1[S][E*] - (k - 1 + kcat)[ES*] dt d[P] = kcat [ES*] dt ........... etc

La Modelización Teórica se hace normalmente en base a dos estrategias: modelos en ecuaciones algebráicas para los sistemas estáticos y modelos en ecuaciones diferenciales para los dinámicos. Primero abordaremos los modelos en ecuaciones algebráicas, que es el caso más sencillo, y más tarde los...