Matematicas

`
ALGEBRA. Grau en Enginyeria Geol`gica
o
Curs 2012-2013

1.

APLICACIONS LINEALS

1.1.

Aplicacions lineals: conceptes b`sics.
a

1.2.

Aplicacions lineals en espais vectorials de dimensi´ finita.
o

1.3.

L’espai dual d’un espai vectorial.

1.4.

Demostracions.

En tot el tema, E i F representen dos espais vectorials sobre el cos commutatiu K, amb K = R o
K = C. Elsvectors zero respectius se simbolitzaran per 0E i 0F .

`
1.1. APLICACIONS LINEALS: CONCEPTES BASICS.
Sigui f : E −→ F
una aplicaci´ (´s a dir, f (x) ∈ F existeix i ´s unic per a
oe
e´
x −→ f (x)
qualsevol vector x ∈ E ). Diem que f ´s aplicaci´ lineal si per a qualssevol λ ∈ K, x, y ∈ E es verifica:
e
o
Definici´ 1.1.1
o

f (λx + y ) = λf (x) + f (y )

Proposici´ 1.1.1
o

Sigui f: E
x

−→
−→

F
f (x)

1)

f (0E ) = 0F

2)

una aplicaci´ lineal. Es verifica:
o

∀λ1 , λ2 , . . . , λp ∈ K, ∀x1 , x2 , . . . , xp ∈ E :

p

p

f

λj xj
j =1

Exemple 1.1.1

Mirem si l’aplicaci´ f :
o

R2 [x]
a + bx + cx2

λj f (xj )

=
j =1

−→
R2
−→ f (a + bx + cx2 ) = (a, b + c)

´s lineal. Primer de tot, com que f (θ(x)) = (0, 0), resulta que fpot ser lineal (si f (0E ) = 0F per a una
e
aplicaci´ f : E −→ F , llavors f no pot ser lineal, d’acord amb la Proposici´ 1.1.1). Ara, siguin els
o
o
objectes arbitraris λ ∈ R, a + bx + cx2 , α + βx + γx2 ∈ R2 [x] :
f λ(a + bx + cx2 ) + (α + βx + γx2 ) = f (λa + α) + (λb + β )x + (λc + γ )x2 =
1

= (λa + α, λb + β + λc + γ ) = λ(a, b + c) + (α, β + γ ) =
= λf (a + bx + cx2 ) + f (α + βx +γx2 ) ,
havent aplicat de definici´ de f tant a la segona igualtat com a l’´ltima. Aix´ f ´s aplicaci´ lineal.
o
u
ı,
e
o

Definici´ 1.1.2
o

Donats els espais vectorials E i F (sobre K), es defineix el conjunt::
def

LK (E, F ) = { f : E −→ F / f ´s aplicaci´ lineal }
e
o
Definim ara la suma i el producte per escalars. Per a qualssevol f, g ∈ LK (E, F ) i qualsevol
λ∈K:
∀x ∈ E :def

(f + g )(x) = f (x) + g (x)

∀x ∈ E :

def

(λf )(x) = λf (x)

(observeu que en f (x) + g (x) s’utilitza la suma en F , i que en λf (x) s’utilitza el producte per escalars de
F ). Definim tamb´ l’aplicaci´ lineal θE,F :
e
o
∀x ∈ E :

def

θE,F (x) = 0F

Lema 1.1.1
LK (E, F ) ´s un espai vectorial sobre K amb la suma i el producte per escalars definits
e
(amb θE,F com avector zero).

A partir d’ara, i amb la intenci´ d’alleugerir la notaci´ (sense introduir confusi´), escriurem 0 per a
o
o
o
referir-nos tant a 0E com a 0F , i θE,F passar` a ser escrita simplement com θ.
a
Definici´ 1.1.3
o

Sigui f ∈ LK (E, F ). Es defineixen els conjunts:

def

1)

Ker(f ) = { x ∈ E / f (x) = 0 } ⊂ E , nucli de f

2)

Im(f ) = { y ∈ F / (∃x ∈ E ) f (x) = y }= { f (x), ∀x ∈ E } ⊂ F , imatge de f

def

Proposici´ 1.1.2
o

Sigui f ∈ LK (E, F ). Es verifica:

1)

Ker(f ) ´s subespai vectorial de E
e

2)

f ´s injectiva ⇐⇒ Ker(f ) = {0}
e

Proposici´ 1.1.3
o

Sigui f ∈ LK (E, F ). Es verifica:

1)

Im(f ) ´s subespai vectorial de F
e

2)

f ´s exhaustiva ⇐⇒ Im(f ) = F
e

2

Continuem amb una mica de terminologia i unresultat de demostraci´ molt f`cil.
o
a
Definici´ 1.1.4
o

Sigui f ∈ LK (E, F ).

1)

Es diu que f ´s un isomorfisme si f ´s bijectiva.
e
e

2)

Es diu que f ´s un endomorfisme si E = F .
e

L’aplicaci´ IE : E −→
o
E
x −→ IE (x) = x
´s a dir, IE ´s endomorfisme i isomorfisme.
e
e
Lema 1.1.2

(aplicaci´ identitat en E ) ´s lineal i bijectiva;
o
e

Acabem aquesta secci´parlant de la composici´ d’aplicacions lineals. Ja sabem que la composici´
o
o
o
d’aplicacions ´s tamb´ una aplicaci´. Anem a veure ara que si les dues aplicacions que es composen s´n
e
e
o
o
lineals, tamb´ ho ´s l’aplicaci´ composici´.
e
e
o
o
Proposici´ 1.1.4 Sigui G un espai vectorial sobre K (com E i F ), i siguin f ∈ LK (E, F ), g ∈ LK (F, G)
o
dues aplicacions lineals. Llavors,...