Matematicas

MATEMÁTICAS APLICADAS

UNIDAD III LÍMITES Y DERIVADAS

DERIVADAS
En matemáticas la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. El
otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema
fundamental del cálculo.
El teorema fundamental del cálculo integral consiste en la afirmación de que
la derivación e integración deuna función son operaciones inversas. Esto
significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su
integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las
matemáticas denominada cálculo.
La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por el cual el valor de la función cambia
cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivadaprovee una formulación
matemática de la noción del coeficiente de cambio.
El concepto más generalizado de la derivada establece que: “la derivada de una función es el límite
del cociente del incremento de la función [f(x+h) – f(x)] entre el incremento (h) de la variable
independiente cuando h tiende a cero. Matemáticamente se representa como:

f ( x + h) − f ( x )
h
h→0
Lim

es muy comúnque h se defina como h=∆x y f(x+h)-f(x) = ∆y, por tanto la derivada también se
escribe como

∆y
∆x
∆x → 0
Lim

como la función depende siempre de x, entonces, la derivada de una función también depende de
x así:

f ' ( x) = Lim
h→0

f ( x + h) − f ( x )
∆y
Lim
=
h
∆x
∆x → 0

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO

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Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto cualesquiera de la
curva.

y
P[(x+h),f(x+h)]

Q[x,f(x)]

∆y
Lim
m = f’(x) =
∆x
x→0
x

La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos y ramas del
quehacer profesional. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se
considera la derivada comola pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede
aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación,
pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como
concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una
función no tiene derivadaen los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o
un punto anguloso.
NOTA: Lo importante del contexto de la derivada es que representa el cambio de una función con
respecto a una variable, lo que se denota también, como el la velocidad de cambio de la función
con respecto a la variable determinada. Por ejemplo:

dy
∆y
otra forma de expresar la derivada es
o bien,y’
dx
∆x
Se lee “la derivada de “y” con respecto a “x” y significa el cambio de la función “y” con respecto a la
variable “x”.

dI
∆I
la otra forma de expresar la derivada es
o bien, I’
dt
∆t
Se lee “la derivada de “I” con respecto a “t” y significa el cambio de la función “I” con respecto a la
variable “t”.
Una derivada puede determinarse de dos formas diferentes:
a) En términos de sudefinición
b) Utilizando las reglas de diferenciación

M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO

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Cálculo de la derivada de una función en términos de su definición
Usemos la definición de la derivada de una función para determinar la pendiente de la curva.
Ejercicio No. 1.- Determinar la derivada de la función f(x)=x3-xmediante la definición.
f(x+h) = (x+h)3 – (x+h)
f(x) = x3-x

f ( x + h) − f ( x )
( x + h) 3 − ( x + h) − ( x 3 − x )
f ' ( x) = Lim
Lim
=
h
h
h→0
h→0
desarrollando el trinomio y eliminando términos comunes

x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − x − h − x 3 + x
x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − x − h − x 3 + x
Lim
=
h
h
h→0
h→0
Lim

3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − h
h(3 x 2 + 3 xh + h 2 −...