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MATEMÁTICAS B. 4º ESO

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EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS. IDENTIDADES Y ECUACIONES
Simplificación de expresiones trigonométricas. Utilizando las definiciones trigonométricas y lasrelaciones que existen entre ellas es posible obtener expresiones trigonométricas más fáciles de manejar.
Ejemplo: Simplificar la expresión

senα ⋅ (cot gα + cos ecα ) .
1  cos α + 1  cos α senα ⋅  + =1 + cos α  = senα ⋅ ↓ ↓ senα simpllificamos  senα senα  Operamos

senα ⋅ (cot gα + cos ecα )

↓ Expreamos en función del seno y del coseno

=

Identidades trigonométricas. Son igualdadesentre expresiones trigonométricas que se cumplen para cualquier valor del ángulo.
Ejemplo:

tg 2 x − tg 2 x ⋅ sen 2 x = sen 2 x
= tg 2 x ⋅ cos2 x = sen 2 x ⋅ cos 2 x = sen 2 x ↓ cos2 xsimplificamos
(c.q.d.)

Demostración. Tomamos el 1er miembro de la igualdad. Simplificando, obtendremos el 2º miembro.

tg 2 x − tg2 x ⋅ sen 2 x = tg2 x ⋅ (1 − sen 2 x)
↓ factor común

↓ Fórmulafundamental sen 2 x + cos2 x =1

↓ Expresión en función del seno y del coseno

Ecuaciones trigonométricas. Son igualdades entre expresiones trigonométricas que se cumplen solo para determinados valores delángulo. La resolución de ecuaciones es el proceso de obtención de dichos valores; en este proceso pueden introducirse soluciones falsas. Será necesario verificar las soluciones obtenidas en laecuación de partida. Veamos algunos tipos: a) Ecuación con una sola razón trigonométrica (o reducible a esta forma).
Ejemplo:

2senx = 1
2

30º+360º k 2senx = 1 → senx = 1 → x = arcsen 1  =    2

150º+360k,

∀k ∈Z

Se comprueba que todos los resultados verifican la ecuación de partida (son solución).

b) Ecuación factorizable igualada a cero.
Ejemplo:

senx + senx ⋅ cos x = 0
0 + 2πk  senx = 0 → x = arcsen0 =   = πk  π + 2πk   1 + cos x = 0 → cos x = −1 → x = arccos(−1) = π + 2πk,

senx + senx ⋅ cos x = 0 →

∀k∈Z

Se comprueba que todos los resultados...