Matemáticas en la vida

3. Considera la función
2
f (x)  3 x
y un punto de su gráfica, M, situado en el primer
cuadrante (x  0, y  0). Si por el punto M se trazan paralelas a los ejes de coordenadas, suintersección con OX y OY determina dos puntos, A y B, respectivamente.
a) Haz una gráfica de los elementos del problema.
b) Halla las coordenadas del punto M que hace que el rectángulo OAMB tenga área
máxima.Solución:
a) La curva es una parábola. Puede representarse dando valores.
La situación es la siguiente.
b) Si el punto M = (x, y), las coordenadas de A y B son: A = (x, 0) y B = (0, y).
El áreadel rectángulo será:
S = xy
Como
2
y  3 x
, sustituyendo se tiene:
2 3
S(x)  x(3 x )  3x  x
El máximo de S(x) se da en las soluciones de S´(x) = 0 que hagan negativa a S´´(x).
´( ) 3 3 02
S x   x   x = 1 y x = 1 (esta última no vale)
Como
S´´(x)  6x
, se tiene que S´´(1) = 6 < 0; luego para ese valor de x se tendrá la
superficie máxima.
Por tanto M = (1,2).Matemáticas II Funciones: optimización
José María Martínez Mediano (www.profes.net)
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CMJ05
4. Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel con las siguientes características: la
zona impresa debeocupar 100 cm2
, el margen superior debe medir 3 cm, el inferior 2 cm, y
los márgenes laterales 4 cm cada uno.
Calcula las dimensiones que debe tener el cartel de modo que se utilice la menorcantidad de
papel posible.
Solución:
Si las dimensiones de la parte impresa son x por y, el cartel será como
el que dibujamos.
La cantidad de papel que se necesita, y que se desea que sea mínima, es:
S= (x + 8) (y + 5)
Con la condición de que xy = 100  y = 100/x
Sustituyendo en S, queda:






   5
100 ( ) ( 8)
x
S x x  140 800 ( )  5  
x
S x x
Esta función es mínimaen las soluciones de S´= 0 que hacen positiva a S´´.
2
800 ´( ) 5
x
S x   
3
1600 ´´( )
x
S x 
S´(x) = 0  160 2
x   x  160  4 10
 2,5 10
4 10
100
y  
Como para ese valor...