Matemáticas

UNIDAD I PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS CONCEPTO PROGRESIONES GEOMETRICAS Y ARITMETICAS Las progresiones constituyen el ejemplo más sencillo del concepto de sucesión. Desde los albores de la historia de las matemáticas se han estudiado sus propiedades, y éstas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial. El estudio de las progresiones aritméticas es paralelo al de lasgeométricas por cuanto las propiedades de estas últimas emanan de las primeras sin más que convertir las sumas en productos, diferencias en cocientes, y el producto por un número natural en una potencia de exponente natural. El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia deprogresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningún matemático concreto. Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, lasprogresiones geométricas. En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una fórmula, semejante a la actual, de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Bhaskara, matemático hindú del siglo XII, plantea en su más conocida obra, el Lilavati, diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas.

OBJETIVO

Identificar as progresiones aritméticas ygeométricas en aplicaciones de la vida cotidiana

DESCRIPCIÓN
El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por an y se hablará de término n-ésimo. 3

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Progresión aritméticas: Definición: esuna sucesión de números relacionados entre si tal que a cada elemento después del primero puede obtenerse del inmediato anterior sumándole un numero fijo. A este número fijo se le llama diferencia de la progresión.

an = a1 + (n - 1) · d
Progresión geométrica: es una sucesión de números tal que cualquier término posterior al primero se obtiene multiplicando el término anterior por un número nonulo llamado razón de la progresión.

an = a1 r n –1
TÉCNICA Encontrar el enésimo término de una progresión.

PROCEDIMIENTO
PROGRESIONES GEOMETRICAS Y ARITMETICAS. La forma más elemental de resolver una progresión aritmética o geométrica es identificar cada uno de los datos proporcionados en el problema además se debe diferenciar entre el termino razón o diferencia. Para asegurarse de queuna sucesión es una progresión aritmética se ha de comprobar que la diferencia entre cada término y su anterior es siempre la misma. Además, esta comprobación elemental determina el valor de la diferencia de la progresión. ¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5 ... una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia? Resolución: Se determina si la diferencia entre cada dos términosconsecutivos es la misma: 5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2; 1 - 3 = -2; -1 - 1 = -2; ... Es una progresión aritmética de diferencia d = -2.

Resolución: 4

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Si la diferencia de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir cada término es mayor que el anterior. Si la diferencia de una progresión aritmética es cero, la progresión es constante, es decir,tiene todos sus términos iguales. Si la diferencia de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.

Cómo reconocer una progresión geométrica Para asegurarse de que una sucesión es una progresión geométrica se ha de comprobar que el cociente entre cada término y su anterior es siempre el mismo. Además esta comprobación...