Matemáticas

GUÍA Nº1 MATEMÁTICAS: “CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SU OPERATORIA”
A prendizajes Esperados
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1. Identificar el conjunto de los Naturales, Enteros, Racionales y Reales, caracterizando sus elementos
componentes y la operatoria básica entre sus elementos.
2. Diferenciar entre números enteros, racionales e irracionales, expresarlos en notación decimal y señalar
su ubicación relativa en la rectanumérica.
3. Resolver problemas que involucren operaciones aritméticas con enteros, decimales y fracciones.
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C onjunto de los Números Naturales (IN)
Iniciaremos este estudio revisando los conjuntos numéricos y primero queremos presentarte a los NATURALES, que
nacen con la necesidad del hombre de poder contar, enumerar.
D efinición
Son los números desde el 1 al infinito positivo.
IN = {1, 2,3, 4, 5, 6, 7, ...}
N úmeros consecutivos
Una de las aplicaciones importantes de este conjunto es que un número cualquiera se representa por “n”. Entonces, el
número que se obtiene al restarle uno será su antecesor, y el número que se obtiene al sumarle uno, será su sucesor.
Antecesor de n

número

Sucesor de n

Sucesor de n + 1

n-1

n

n+1

n+1+1=n+2

Existen discrepanciasrespecto de incluir el cero dentro del conjunto de los naturales. Desde la mirada histórica, el cero
aparece tan tarde que algunos no creen que sea justo incluirlo en los números naturales. En este apunte, no se
considerará el cero como natural.
Problema:
La suma de tres números naturales consecutivos es 78.¿Cuáles son?
Solución:
Se designa el primer número por n, el segundo por n+1 y eltercero por n + 2.
Entonces, sumando los tres números se tiene:

Por lo tanto, el primer número es 25.
Respuesta: los números son 25, 26 y 27.

N úmeros pares e impares
a) Números pares
Los números pares son de la forma general: 2n, donde n pertenece a IN. Los números pares son, por lo tanto, múltiplos
de 2.
Ejemplo

Si n = 1 el primer par es 2.
Si n = 2 el primer par es 4.
Si n = 3 elprimer par es 6.

Observa que ellos van de 2 en 2.
b) Números pares consecutivos
se denotan o designan de acuerdo al siguiente cuadro:
Antecesor par

Número par

Sucesor par

2n - 2

2n

2n + 2

Ejemplo: Tres números pares consecutivos:
c) Números impares
Los impares son de la forma general: 2n + 1, donde n pertenece a IN.
d) Números impares consecutivos
Antecesor impar
(2n +1) – 2 = 2n – 1

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Número impar

Sucesor impar

2n + 1

(2n + 1) + 2 = 2n + 3

Propiedades de la paridad
La suma de dos números pares es un número par.
La suma de dos números impares es un número par.
La suma de un número par y uno impar es un número impar.
El producto de dos números pares es un número par.
El producto de dos números impares es un númeroimpar.
El producto de un número par por uno impar es un número par.
El cuadrado de un número par es un número par.
El cuadrado de un número impar es un número impar.
Ejemplo: si x es un natural par e y es un natural impar, entonces la expresión
Solución:
Como x es par, entonces 3x es par.
Como y es impar, entonces 2y es par.
Entonces,
es par.
Entonces,
es par.

, ¿es par o impar?

Números primos
Los números primos se definen como todo número Natural mayor que 1 y que solo se puede dividir por 1 y por sí mismo.
Los primeros números primos de la recta numérica son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
Los números naturales mayores que 1 que no son primos, se denominan números compuestos.

Ejemplos:
El 14 no es primo, porque se puede dividir por 2 y por 7.
El 7 esprimo porque solo es divisible por 1 y por 7.
el 12 no es primo y es un número compuesto porque 12 = 3 · 4 o bien 12 = 2 · 6, etc.
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como
producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces.
Ejemplo: el número 2.520 =
Para recordar:
El número 1 no...