matemático

Funci´n de Ingreso.
o

Considere que la funci´n montos por siniestralidad es corresponde
o
a la cuantia de k siniestros independientes e identicamente
distribuidos. es decir
k

Yi
i =1y a la vez que este n´mero de siniestros nuevamente sea una
u
variable aleatoria X . con funci´n generadora de momentos MX (u ).
o
Por tanto la funci´n generatriz de X |Y = k esta dad´ por lao
a
expresi´n.
o
M(X |Y =k ) (u ) = (MY (U ))K

Distribuciones Compuestas

Funci´n de Ingreso.
o

luego la funci´n generatriz de momentos de la compuesta S est´
o
a
dada por.
MS (u )= E [E (e uS |X )]
∞

E [e u(Y1 +...+YX ) |X = k ]P (X = k )

=
n=0
∞

E [e u(Y1 +...+YK ) ]P (X = k )

=
n=0
∞

MY ( u ) n P ( X = k )

=
n=0

= E [(e lnMY (t ) )X ]
= MX (lnMY(t ))
= MX (µY (U ))
Distribuciones Compuestas

Funci´n de Ingreso.
o

Esto muestra que la funci´n generadora de momentos de la
o
variable cuantia totala de sinistros Y condicionada al numerode
siniestros X no es m´s que la funci´n generadora de momentos de
a
o
el n´mero de siniestros X evaluadad en al funci´n cumulativa de la
u
o
variable de los montos Y .
por tanto desde ladefinici´n de funci´n de ingreso se tiene que la
o
o
funci´n de ingreso de S est´ dada por.
o
a
µS ( u )
u

Distribuciones Compuestas

entonces

µX (µY (u ))
u

Funci´n de Ingreso.
oEjemplo.
Suponga una compa˜´ de seguros donde el n´mero de siniestros
nıa
u
sigue una distribuci´n de poisson de parametro λ y la cuant´ por
o
ıa
reclamaci´n sigue una distribuci´n exponencial deparametro θ. Se
o
o
obtendra la funci´n de ingreso de la compa˜ia para un nivel
o
n
prefijado de riego α y una reserva inicial W . Recordemos que para
una variable aleatoria distribuida Poissonλ su funci´n generatriz
o
de momentos fgm y funci´n cumulativa fc est´n dadas por.
o
a
fgm = MX (u ) = e λ(e

Distribuciones Compuestas

u −1)

y

fc = µX (u ) = ln(MX (u )) = λ(e u...