Mateo

LONGITUD DE ARCO. CURVATURA.

12. Hallar la longitud del camino descrito por el m´
ovil con la ecuaci´
on que se da y
durante el intervalo especificado:
→
(a) −
σ (t) = (et cos t, et sen t), 0 ≤ t ≤ 2.
−
(b) →
σ (t) = (t, 3t2 , 6t3 ), 0 ≤ t ≤ 2.
→
(c) −
σ (t) = (a cos wt, a sen wt, bwt), t0 ≤ t ≤ t1 .
→
(d) −
σ (t) = (|t|, |t − 1/2|) en el intervalo [−1, 1].
−
(e) →
σ (t) =(2t, t2 , ln t) entre (2, 1, 0) y (4, 4, ln 2).

Soluci´
on
t1

En todos los casos aplicaremos la f´
ormula de la longitud de arco

|σ (t)| dt, donde

=
t0

σ(t) es el vector de posici´
on de la trayectoria y t0 , t1 son los extremos de la misma.
→
−
→
−
→
(a)√Si −
σ (t) = (et cos t, et sen t), entonces σ (t) = (et (cos t−sen t), et (sen t+cos t)) y | σ (t)| =
et 2. As´ı pues,2 √
√
=
et 2 dt = 2(e2 − 1).
0

−
→
−
→
−
(b) Ahora, →
σ (t) = (t, 3t2 , 6t3 ), de donde σ (t) = (1, 6t, 18t2 ) y | σ (t)| = 1 + 18t2 . Entonces,
2

(1 + 18t2 ) dt = 50.

=
0

→
−
→
(c) A partir de la ecuaci´
on −
σ (t) = (a cos wt, a sen wt, bwt), deducimos que σ (t) = (−aw sen wt, aw cos wt, bw)
√
→
−
y | σ (t)| = w a2 + b2 . Entonces,
t1

=

w

a2 + b2 dt =w(t1 − t0 ) a2 + b2 .

t0

(d) Como la trayectoria no es suave, la descomponemos en tres tramos:
σ1 (t) = (−t, −t + 1/2), t ∈ [−1, 0],
σ2 (t) = (t, −t + 1/2), t ∈ [0, 1/2],
σ1 (t) = (t, t − 1/2), t ∈ [1/2, 1].
Como se trata de tres segmentos de recta, su longitud se obtiene directamente calculando
la distancia entre sus extremos:
= d((1, 3/2), (0, 1/2)) + d((0, 1/2), (1/2, 0)) + d((1/2,0), (1, 1/2))
√
√
√
√
=
2 + 2/2 + 2/2 = 2 2.
1

→
−
−
→
→
(e) Como −
σ (t) = (2t, t2 , ln t), entonces σ (t) = (2, 2t, 1/t) y | σ (t)| = 2t + 1/t. Teniendo en
cuenta que (2, 1, 0) = σ(1) y (4, 4, ln 2) = σ(2), resulta:
2

(2t + 1/t) dt = 3 + ln 2.

=
1

13. Hallar la curvatura de:
(a) La elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 en los v´
ertices.
(b) La hip´
erbola x2 − 4y 2 = 9en (5, 2).
(c) La par´
abola x2 = 4cy (c > 0), en el v´
ertice.

Soluci´
on
→
A partir de la parametrizaci´
on −
σ (t) de la trayectoria, la curvatura se calcula por la f´ormula
|σ (t) × σ (t)|
.
κ=
|σ (t)|3
(a) Parametrizamos la elipse mediante la funci´on σ(t) = (a cos t, b sen t), con 0 ≤ t ≤ 2π.
Tenemos as´ı que:
σ (t) = (−a sen t, b cos t) =⇒ |σ (t)| = a2 sen2 t + b2 cos2 t,σ (t) = (−a cos t, −b sen t) =⇒ σ (t) × σ (t) = (0, 0, ab) =⇒ |σ (t) × σ (t)| = ab.
Como el v´ertice (a, 0) corresponde a σ(0), su curvatura viene dada por la f´ormula κ(0) =
ab/b3 = a/b2 (el mismo valor se obtiene para el v´ertice (−a, 0)).
An´
alogamente, como (0, b) = σ(π/2), entonces κ(π/2) = ab/a3 = b/a2 (que tambi´en es el
valor de la curvatura en el punto (0, −b).
(b) Escribimos laecuaci´
on de la hip´erbola como
mediante la funci´
on σ(t) = 3 ch t,
σ (t)

=

σ (t)

=

x2
y2
−
= 1, la cual se parametriza
9
9/4

3
sh t . As´ı pues,
2

3
9
ch t =⇒ |σ (t)| = 9 sh2 t + ch2 t,
2
4
3
3 ch t, sh t =⇒ σ (t) × σ (t) = (0, 0, −9/2) =⇒ |σ (t) × σ (t)| = 9/2.
2

3 sh t,

En este caso, el punto (5, 2) corresponde a σ(t0 ), de donde ch t0 = 5/3 y sh t0 =4/3. Por
36
9/2
tanto, la curvatura es κ(t0 ) =
= √ .
3
89 89
(16 + 25/4)
t2
(c) Parametrizamos la par´
abola por la funci´on σ(t) = t,
. Entonces, como σ (t) =
4c
t
1
1
1,
y σ (t) = 0,
, la curvatura en el v´ertice (0, 0) = σ(0) es κ(0) = .
2c
2c
2c

2

14. Contestar verdadero o falso a las siguientes proposiciones:
−
→
→
−
→
−
→
−
olo si l´ım | f (t) − L | = 0.(a) l´ım f (t) = L si y s´
t→t0

t→t0

− −
→
→
−
→
(b) ( f × →
g ) (t) = (−
g × f ) (t).
(c) Si el vector velocidad es constante, la curva es plana.
(d) Si la velocidad es constante, la curva es plana.
(e) Si el vector aceleraci´
on es constante, la curva es plana.
(f) Si el vector velocidad es perpendicular al vector aceleraci´
on, la curva es plana.

Soluci´
on
(a) La...