Materiales

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA UNIVERSITARIA DE ARQUITECTURA TÉCNICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA A LA ARQUITECTURA TÉCNICA

MATEMÁTICAS I Problemas

Curso 2010/2011 (Primer semestre)

Prácticas de Matemáticas I

Tema 1. Función real de variable real

Tema 1. Función real de variable real

1.

Una caja cerrada con base cuadrada de lado x tiene un área de 100cm2 . Expresar su volumen V en función de x. Hallar el dominio de dicha función. Determinar el dominio de las siguientes funciones: (a) f (x) = 1 + x2 − 1 (d) f (x) = ln (j) f (x) =
ex +1 ex −1 1 (g) f (x) = arc cos |x|

2.

√

(b) f (x) = (e) f (x) = (h) f (x) = (k) f (x) = (n) f (x) = (q) f (x) = (t) f (x) =

√ 1 2x+4 1 sen x √ x+3 x

(c) f (x) = ln (f) f (x) = (i) f (x) = (o) f (x)= (u) f (x) =
√

1+x 1−x

cos x − 1

√ x2 + x − 2 √ √ (m) f (x) = ln x − ln x

√

ln(2−x) √ x+2 1 x

x3 − x

(l) f (x) = ln

−6

1 x2 −9 1 arc sen x √ 1 1−x2

x tan x

(p) f (x) = ln(arctan x) (s) f (x) = e
√ x−2 x

(r) f (x) = arc cos x2
ln(x2 +1) x2 +x

3. Calcular los siguientes límites: (a) l´ (x2 + 7x − 5) ım
x→3

(b) l´ x +1 ım x−3
2

x→1

(c) l´ (x3 + x− 1) ım
x→+∞

(d) l´ ım
x→0

x→−∞

1 x2

+2

(e) l´ ım

x→0

1 sen x− 2 sen 2x x3

(f) l´ π 1−tan x ım cos 2x
x→ 4 √ x→0 sen2 x x

(g) l´ 1−cos x ım x (j) l´ 3 sen x arcx x ım 1−cos sen l)
x→0

(h) l´ [ln(x + 1) − ln(x + 2)] (i) l´ ım ım
x→+∞

(k) l´ ln(1+x2 ) ım 3x
3 x6

(o)

l´ ım 23 + x4 x→0 x √ l´ 1+x−1 ım x x→0
x→0

−

(m) l´ (x+2) ım x
x→0 x→0

x→0

2−4

(n) l´ ım
x→0

−2x+3 2 x→+∞ 3x +1
1

(p) l´ tan x−x ım x−sen x (s) l´ − ım
2 x = −1 x = −1
x→−1 1
1

(q) l´ x2 e x ım

(r) l´ + ln(sen x) ım ln x (t) f (x) =
|x+1| x+1

x→0 1+e x

l´ f (x) ım

4. Hallar los límites en los extremos de su dominio, para las siguientes funciones: (a) f (x) = arctan (9 − x3 )
EUATM

(b)f (x) = arc cos x
Curso 09/10

√

1

Prácticas deMatemáticas I

Tema 1. Función real de variable real

5. Clasica la discontinuidad en los puntos de R donde f no sea continua o no esté denida: (a) f (x) = e (d) f (x) =
−
2 x(x−1)2

(b) f (x) =
x=1 x=1

|x| x 1 sen x x = 0 0 x=0

(c) f (x) = (f) f (x) =

arctan(x2 −1) x−1 1 x2 sen x x = 0 0 x=0

x−1 1+e x−1
1

0

(e) f (x) =

6. Aplicando la denición de derivada en unpunto, calcular, si existe, en los puntos indicados la derivada de las siguientes funciones: (a) f (x) =
x=0 en x = 0 0 x=0
1 x

(b) f (x) = tan x en x = 0

(c) f (x) = (x−1)(x−2)2 (x−3)3

en x = 1; x = 2; x = 3 7. Hallar la función derivada de las funciones siguientes: (a) f (x) =
sen x x

1

x=0 x=0

(b) f (x) =

1 x2 sen x x = 0 0 x=0

8. Sea f (x) = x x(4 − x), obtener lospuntos de intersección con los ejes, puntos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, extremos absolutos, recorrido y gráca.
1 9. Sean f (x) = x2 − 1 en [0, 3] y g(x) = x−1 en [2, 5] indicar de cada una de estas funciones si están acotadas superior y/o inferiormente, en el intervalo correspondiente. Decir si alcanzan su máximo o su mínimo absoluto y calcular el recorrido.

10.Calcular los puntos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de las funciones x x3 −1 f (x) = ex y g(x) = ln (x−1)3 . 11. La gráca de una función f (x) = ax2 + bx + c tiene un extremo relativo en el punto (1,1). Además la tangente a dicha curva en el punto de abcisas x=2 es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcular a, b y c. 12. Hallar extremos absolutos y recorrido de lasfunciones: (a) f (x) = arctan x2 (c) f (x) = e
arc sen √ 2x+5 1 (b) f (x) = x + x en (0, +∞)

(d) f (x) =

(x − 2) 3 + 1 2 −(x − 4) 3 + 3

2

en [0, 3) en [3, 5]

EUATM

Curso 09/10
2

Prácticas de Matemáticas I

Tema 2. Integración

Tema 2. Integración
1. Calcula:
sen x 4   a) ∫ x 3 7 − 6 x 2 dx b) ∫  5 − x 2 − 2  dx c) ∫ dx d) ∫ sen 2 x dx x  x  f) ∫ j)
n) r)...