Math
Páginas: 9 (2069 palabras)
Publicado: 4 de noviembre de 2012
La Paz, Baja California Sur
Martes 16 de octubre de 2012
1. Sobre una circunferencia escribe en orden los números naturales del 1 al 1000. Empezando con el 1, tacha cada decimoquinto número (es decir, tacha el 1, 16, 31, etc.). Continúa este procedimiento hasta que corresponda tachar un número de los ya tachados. ¿Cuántos números quedan sin tachar?
Para que se vuelva a tachar uno de losya tachados, debe ser el 1 el primero.
Esto nos hace calcular el mínimo común múltiplo de 15 y 1000 para saber después de cuántas vueltas completas se vuelve a tachar el 1.
El mínimo común múltiplo es 3000, así que se debe dar tres vueltas para tachar. En la primera vuelta se van a tachar todos los números que dejan residuo 1 al dividirse entre 15. El último número que se tacha en la primeravuelta es el 991 y el siguiente que se tacha es el 6.
Así que en la segunda vuelta se van a tachar todos los números que dejan residuo 6 al dividirse entre 15. El último número que se tacha en la segunda vuelta es el 996 y el siguiente que se tacha es el 11.
Así que en la última vuelta se van a tachar todos los números que dejan residuo 11 al dividirse entre 15. El último número que setacha en la tercera vuelta es el 986 y el siguiente es el 1. Por lo que ya terminamos el proceso.
Si nos fijamos, hemos tachado todos los números que terminan en 1 o en 6. Así que tachamos la quinta parte de los números, es decir, 200. Por lo tanto, quedaron sin tachar 800 números.
2. Tres granjeros y sus tres esposas acuden al mercado a comprar cerdos. Los nombres de ellos son Horacio, Elíasy Cornelio; los de ellas son Gertrudis, María y Ana. El número de cerdos que compró cada una de las seis personas es igual al precio que cada una pagó por cada cerdo y cada hombre pagó en total 63 pesos más que su respectiva esposa. Además, sabemos que Horacio compró 23 cerdos más que María y Elías 11 cerdos más que Gertrudis. ¿Cuál es el nombre de la esposa de cada hombre?
Supongamos quecada esposo compró m cerdos a m pesos y su esposa compró n cerdos a n pesos. Quiere decir que el esposo gastó [pic] pesos y su esposa gastó [pic]. Por lo tanto, [pic], que escrito de otra forma es [pic]
Ahora factoricemos el 63 = [pic], así que podemos formar tres parejas de números cuyo producto me de 63: [pic], [pic] y [pic].
Como m + n es mayor que m – n, entonces obtenemos tres casos:Caso 1.
[pic] de donde obtenemos que [pic] y [pic].
Caso 2.
[pic] de donde obtenemos que [pic] y [pic].
Caso 3.
[pic] de donde obtenemos que [pic] y [pic].
Por lo tanto, los hombres compraron 31, 12 y 8 cerdos y las mujeres 31, 9 y 1.
Como Horacio compró 23 cerdos más que María, entonces Horacio compró 32 y María 9. Como Elías compró 11 más que Gertrudis,entonces Elías compró 12 y Gertrudis 1. Finalmente, Cornelio compró 8 cerdos y Ana compró 31.
Así que las parejas son: Horacio – Ana, Elías – María y Cornelio – Gertrudis.
3. Encuentra cuatro números que estén en progresión geométrica, que la suma de los dos términos extremos sea 27 y la suma de los medios sea 18.
Cuatro números en progresión aritmética son representados de la siguiente manera:[pic]
La suma de los dos extremos es [pic].
La suma de los dos medios es [pic].
Si dividimos la suma de los extremos entre la suma de los medios obtenemos:
[pic]
Simplificando:
[pic]
[pic]
Así que [pic] o [pic].
Si [pic], la suma de los extremos es [pic], así que [pic] y la progresión geométrica sería 3, 6, 12 y 24.
Si [pic], la suma de los extremos es [pic], así que [pic] yla progresión geométrica sería 24, 12, 6 y 3.
4. Sean x, y, z números enteros tales que x3 + y3 – z3 es múltiplo de 7. Demuestra que uno de esos números es múltiplo de 7.
Al dividir entre 7 un número a puede dar 7 posibles residuos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Veamos la siguiente tabla de residuos:
|a |a3 |
|0...
Martes 16 de octubre de 2012
1. Sobre una circunferencia escribe en orden los números naturales del 1 al 1000. Empezando con el 1, tacha cada decimoquinto número (es decir, tacha el 1, 16, 31, etc.). Continúa este procedimiento hasta que corresponda tachar un número de los ya tachados. ¿Cuántos números quedan sin tachar?
Para que se vuelva a tachar uno de losya tachados, debe ser el 1 el primero.
Esto nos hace calcular el mínimo común múltiplo de 15 y 1000 para saber después de cuántas vueltas completas se vuelve a tachar el 1.
El mínimo común múltiplo es 3000, así que se debe dar tres vueltas para tachar. En la primera vuelta se van a tachar todos los números que dejan residuo 1 al dividirse entre 15. El último número que se tacha en la primeravuelta es el 991 y el siguiente que se tacha es el 6.
Así que en la segunda vuelta se van a tachar todos los números que dejan residuo 6 al dividirse entre 15. El último número que se tacha en la segunda vuelta es el 996 y el siguiente que se tacha es el 11.
Así que en la última vuelta se van a tachar todos los números que dejan residuo 11 al dividirse entre 15. El último número que setacha en la tercera vuelta es el 986 y el siguiente es el 1. Por lo que ya terminamos el proceso.
Si nos fijamos, hemos tachado todos los números que terminan en 1 o en 6. Así que tachamos la quinta parte de los números, es decir, 200. Por lo tanto, quedaron sin tachar 800 números.
2. Tres granjeros y sus tres esposas acuden al mercado a comprar cerdos. Los nombres de ellos son Horacio, Elíasy Cornelio; los de ellas son Gertrudis, María y Ana. El número de cerdos que compró cada una de las seis personas es igual al precio que cada una pagó por cada cerdo y cada hombre pagó en total 63 pesos más que su respectiva esposa. Además, sabemos que Horacio compró 23 cerdos más que María y Elías 11 cerdos más que Gertrudis. ¿Cuál es el nombre de la esposa de cada hombre?
Supongamos quecada esposo compró m cerdos a m pesos y su esposa compró n cerdos a n pesos. Quiere decir que el esposo gastó [pic] pesos y su esposa gastó [pic]. Por lo tanto, [pic], que escrito de otra forma es [pic]
Ahora factoricemos el 63 = [pic], así que podemos formar tres parejas de números cuyo producto me de 63: [pic], [pic] y [pic].
Como m + n es mayor que m – n, entonces obtenemos tres casos:Caso 1.
[pic] de donde obtenemos que [pic] y [pic].
Caso 2.
[pic] de donde obtenemos que [pic] y [pic].
Caso 3.
[pic] de donde obtenemos que [pic] y [pic].
Por lo tanto, los hombres compraron 31, 12 y 8 cerdos y las mujeres 31, 9 y 1.
Como Horacio compró 23 cerdos más que María, entonces Horacio compró 32 y María 9. Como Elías compró 11 más que Gertrudis,entonces Elías compró 12 y Gertrudis 1. Finalmente, Cornelio compró 8 cerdos y Ana compró 31.
Así que las parejas son: Horacio – Ana, Elías – María y Cornelio – Gertrudis.
3. Encuentra cuatro números que estén en progresión geométrica, que la suma de los dos términos extremos sea 27 y la suma de los medios sea 18.
Cuatro números en progresión aritmética son representados de la siguiente manera:[pic]
La suma de los dos extremos es [pic].
La suma de los dos medios es [pic].
Si dividimos la suma de los extremos entre la suma de los medios obtenemos:
[pic]
Simplificando:
[pic]
[pic]
Así que [pic] o [pic].
Si [pic], la suma de los extremos es [pic], así que [pic] y la progresión geométrica sería 3, 6, 12 y 24.
Si [pic], la suma de los extremos es [pic], así que [pic] yla progresión geométrica sería 24, 12, 6 y 3.
4. Sean x, y, z números enteros tales que x3 + y3 – z3 es múltiplo de 7. Demuestra que uno de esos números es múltiplo de 7.
Al dividir entre 7 un número a puede dar 7 posibles residuos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Veamos la siguiente tabla de residuos:
|a |a3 |
|0...
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