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Cap´ ıtulo 3 Sucesiones, inducci´n y o sumatorias
3.1. Sucesiones

Definici´n 1 o Una sucesi´n es una funci´n definida de N → R que se acostumbra a denotar o o por an en lugar de f (n), costumbre que tambi´n adoptaremos en este texto, e as´ ı, an ∈ R, ∀n∈N an : se llama t´rmino n–´simo o t´rmino de lugar n. e e e a1 : es el primer t´rmino de la sucesi´n. e o ak : es el k–´simo t´rminode la sucesi´n. e e o Las sucesiones se encuentran presentes en casi todos los t´picos de las matem´ticas, o a de ah´ su importancia. Eventualmente, n ∈ N0 , N0 = N ∪ {0}. ı Ejemplo 1 Vamos a dar algunas sucesiones definidas por su t´rmino n–´simo, o bien, en e e 74

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forma recursiva. 1. an =
2n−1 n2 +1

2. an = 2n − 13. an = (−1)n 4. an = cos(nπ) 5. an = 1 + 2 + 3 + . . . + n 6. an =
1 n

7. a1 = 1, a2 = 2, . . . , an+2 = an+1 + an √ √ √ 8. a1 = 2, a2 = 2 + 2, . . . , an+1 = 2 + an Dada la sucesi´n a1 , a2 , . . . , an , su k–´simo t´rmino es ak , el siguiente t´rmio e e e no es ak+1 tambi´n llamado sucesor, el anterior al k–´simo t´rmino es ak−1 e e e tambi´n llamado antecesor. e Ejemplo 2 Dada la sucesi´nan = o anterior t´rmino. e
2n−1 , 3n+1

determine el k–´simo t´rmino, su siguiente y e e

De inmediato se tiene que: ak = ak = ak =
2k−1 3k+1

es el k–´simo t´rmino. e e = =
2k−2 3k−2 2k 3k+4

2k−1−1 3(k−1)+1 2k+1−1 3(k+1)+1

es su anterior t´rmino. e es su siguiente t´rmino. e

El gr´fico de una sucesi´n, aunque no es relevante, es un conjunto discreto a o de puntos que siempre seencuentran en el primer o en el cuarto cuadrante de los ejes cartesianos, es decir:

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DIBUJO Observaci´n. o Los conceptos de sucesiones crecientes, no crecientes, acotadas, convergentes, etc., no se abordar´n en este texto. Para ellos consultar en el texto de C´lculo a a Integral y Diferencial en una Variable.

3.2.Ejercicios resueltos
a) Determine su t´rmino n–´simo. e e b) Pruebe que ak − ak+1 = c) Calcule a1 − an+1 .
1 . k(k+1)

1 1. Dada la sucesi´n: 1, 1 , 3 , . . . o 2

Soluci´n. o a) De inmediato an = b) ak − ak+1 = c) a1 − an+1 =
1 k 1 1 1 n

− −

1 k+1 1 n+1

= =

k+1−k k(k+1) n n+1 1 2

=

1 k(k+1)

2. Dada la sucesi´n 1, 1 + 1 , 1 + o 2

+ 1 ... 3

a) Determine el t´rminode lugar n. e b) Determine el siguiente t´rmino al n–´simo. e e c) Demuestre que an+1 > an , ∀ n ∈ N. Soluci´n. o a) De inmediato se tiene que: 1 1 an = 1 + 2 + 1 + . . . + n 3
1 b) an+1 = 1 + 2 + 1 + . . . + 3 1 n

+

1 n+1

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1 n

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1 , n+1

1 1 1 1 1 c) an+1 −an = 1+ 2 + 3 +. . .+ n + n+1 − 1 + 2 + 1 + . . . + 3 perocomo n ≥ 1 ⇒ an+1 − an > 0 ⇒ an+1 > an .

=

3. Dada la sucesi´n: 1 , 1 , 1 , . . . o 1 3 5 a) Determine el t´rmino n–´simo. e e b) Determine el anterior y siguiente t´rmino al n–´simo. e e c) Calcule a2k − a2k+1 . Soluci´n. o a) an =
1 . 2n−1 1 2n−3

b) an−1 =

y an+1 =
1 2(2k)−1

1 2n+1 1 2(2k+1)−1

c) a2k − a2k+1 =

−

=

2 16k 2 −1

4. Desarrolle la siguiente sucesi´ndefinida recursivamente y de aqu´ deo ı duzca el n–´simo t´rmino: a1 = 2, . . . , an+1 = 2an + 1. e e Soluci´n. o a1 = 2 a2 = 2a1 + 1 = 2 · 2 + 1 = 22 + 1 a3 = 2a2 + 1 = 2(22 + 1) + 1 = 23 + 2 + 1 a4 = 2a3 + 1 = 2(23 + 2 + 1) + 1 = 24 + 22 + 2 + 1 ....................................... ............ an = 2an−1 + 1 = 2n + 2n−2 + 2n−3 + . . . + 22 + 2 + 1 M´s adelante, en el cap´ a ıtulo de progresiones,estaremos en condiciones para efectuar esta suma, cuyo resultado es an = 3 · 2n−1 − 1. 5. Si a1 = 1 . . . an+1 = an +
1 n+1

demuestre que:
13 3

a) a1 + a2 = 3(a3 − 1) y que a1 + a2 + a3 = b) an = 1 + 1 + 1 + . . . + 2 3
1 n

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Soluci´n. o a) a1 a2 a3 a1 + a2 =1 1 = a1 + 2 = 1 + 1 = 3 2 2 3 = a2 + 1 = 2 + 1 =...