MatII 1limits Cont

Tema 1

EXERCICIS LÍMITS I CONTINUÏTAT

(1) Estudieu la continuïtat de les següents funcions i classifiqueu les discontinuïtats:
1)

f ( x) =

x2 − 4
x+2

x2 − 4, x + 2 són funcions contínues ∀x ∈R , i com l'únic valor que anul.la al denominador és x =
-2 ⇒ f(x) és contínua en R − {2} , i, discontínua en x = -2, perquè no està definida.
Observeu que encara que −2 ∉Dom(f ) (no existeix f(-2)) sique existeix lim f ( x) .
x→−2

lim f ( x) = lim
x→−2

x→−2

2

2

x − 4 ( −2) − 4  0 
(x − 2)(x + 2) = lim x − 2 = −2 − 2 = −4
=
=   = lim
 0  x→−2
x+2
−2 + 2
x+2
x→−2
IND.

En aquest cas, -4 és el que es coneix com a vertader valor de f(x) per a x = -2.
Com lim f ( x) = −4 ≠ f (−2) (no està definida) ⇒ f(x) té una discontinuïtat evitable en el punt
x→−2

x = -2.
 x2 − 4
, si x ≠ −2

2) f( x) =  x + 2

 −4 , si x = −2

x2 − 4, x + 2 són funcions contínues en R, per ser polinomis ⇒

x2 − 4
és una funció contínua
x+2

en R − {−2} ⇒ f(x) és contínua en R − {−2} .
Tan sols falta saber el que passa en el punt x = -2, és a dir, ¿f(x) és contínua en x = -2?

a) f ( −2) = −4
2

b) lim f ( x) = lim
x→−2

x→−2

x2 − 4 (−2) − 2  0 
=
= 
 0
x+2
−2 + 2
IND.

c) lim f ( x) = −4 = f (−2)
x→−2




x − 2)( x + 2)

(
= lim
= −4 ⇒ f ( x) es continua en x = −2
x+2
x→−2





Llavors, f(x) és una funció contínua en R.

3)

x2 + 2 , si x ≥ 0
f ( x) = 
− x + 2 , si x < 0
x2 + 2 , − x + 2 són funcions polinòmiques i, per tant, contínues ∀x ∈R . Llavors, f(x) és una
funció contínua en R − {0} , i tan sols falta provar si f(x) és contínua o discontínua en el punt
x = 0.
a)f(0) = 0 2 + 2 = 2
b) lim f ( x) ?
x→ 0

2

f(x)=-x+2

f(x)=x +2
0

1

lim f ( x) = lim − x + 2 = −0 + 2 = 2
x→ 0 −

 ⇒ ∃ lim f ( x) = 2 , (límits laterals iguals)
2
2
lim f ( x) = lim x + 2 = 0 + 2 = 2 
x→ 0
x→ 0 +
x→ 0 +

x→ 0 −

c) lim f ( x) = 2 = f (0) .
x→ 0

Llavors, f(x) és una funció contínua en el punt x = 0. Per tant, f(x) és contínua ∀x ∈R .

4)

x − 1 , si x < 0

f ( x) = x2 −1 , si 0 ≤ x ≤ 3
 3 , si x > 3

x − 1, x2 − 1, 3 són funcions contínues en R, per ser funcions polinòmiques ⇒ f(x) és una
funció contínua en R − {0,3} .
¿f(x) és contínua en el punt x = 0?
a) f(0) = 0 2 − 1 = −1

2

f(x)=x-1

b) lim f ( x)?

f(x)=x -1
0

x→0

f(x)=3
3

lim f ( x) = lim x − 1 = 0 − 1 = −1 
x→ 0 −
x→ 0 −

 ⇒ ∃ lim f ( x) = −1
2
2
lim f ( x) = lim x − 1 = 0 − 1 = −1
x→ 0
x→ 0+
x→ 0 +

c) lim f ( x) = −1 = f (0)
x→ 0

Llavors, f(x) és contínua en el punt x = 0.
¿f(x) és contínua en el punt x = 3?
a) f(3) = 3 2 − 1 = 9 − 1 = 8
b) lim f ( x)?
x→3

lim f ( x) = lim x2 − 1 = 8 ;

lim f ( x) = lim 3 = 3

x→ 3 −

x→ 3 +

x→ 3 −

x→ 3 +

f(x) és discontínua en el punt x = 3, i la discontinuïtat és de salt, ja que els límits laterals són
finits i distints.

5)

f ( x) =

2x2+ 3 x
x

2x2 + 3 x
funció discontínua en R − {0} i
x
discontínua en x = 0, ja que la funció no està definida en aquest punt.
Anem a classificar la discontinuïtat de f(x):
2x2 + 3 x , x són funcions contínues en R ⇒ f ( x) =

a) f(0) no existeix
2

b) lim f ( x) = lim
x→ 0

x→ 0

2x2 + 3 x  0 
(2x + 3)x/ = lim 2x + 3 = 3
=   = lim
 0  x→0
x
x/
x→ 0
IND.

Com lim f ( x) = 3 ≠ f (0) ⇒ f(x) téuna discontinuïtat evitable en el punt x = 0.
x→ 0

6)

f ( x) =

2x + 3
x

2x+3 , x són funcions contínues en R ⇒ f ( x) =
en x = 0. Anem a classificar la discontinuïtat:
a) f(0) no existeix
2x + 3 3
b) lim f ( x) = lim
= =∞
x
0
x→ 0
x→ 0

7)

2x + 3
funció contínua en R − {0} i discontínua
x

⇒ f(x) té una discontinuïtat essencial en x = 0.

x2 ⋅ sin 1 , si x ≠ 0
x
f ( x) = 
, si x = 0
 0Si x ≠ 0, f(x) és el producte de dues funcions contínues ⇒ f(x) és contínua en R − {0} .
¿f(x) és contínua en x = 0?
a) f(0) = 0
b) lim f ( x) = lim x2 ⋅ sin 1x = lim x2 ⋅ lim sin 1x = 0
x→ 0
x→ 0
x1
→44
0 42
x→
0 4
44
3
Sabem que −1≤ sin 1x ≤1

c) lim f ( x) = 0 = f (0)
x→ 0

Llavors, f(x) és contínua en el punt x = 0, i per tant, f(x) és contínua en R.

8)

f ( x) = x ⋅ sin 1x
Aquesta funció no...