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Representación de vectores en diferentes bases.
1 0 . . . ⎞ ⎛ 0 1 0 . . . ⎞ ⎛ ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎟⎪ ⎬ ⎟⎪ ⎟ ⎟ = {e1 , e2 , ..., e3 } ⎟⎪ ⎪ 0 ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 1 0 0 . . .

Sea la base normal: ⎧⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜ ⎨ ⎜ ⎜ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎝ ⎪ ⎪ ⎩

Sea el vector x ∈ Rn expresado en términos de la base( 1): x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en = ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ x1 x1 ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ = [e1 e2 ...en ] ⎣ . ⎦ = I ⎣ . ⎦ = Ix . . xn xn

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟,⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ 0 0

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , ..., ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

(1)

(2)

xi ∈ R ∀i = 1, n son las coordenadas del vector x ∈ Rn con respecto a la base dada por (1), esto es, con respecto a {e1 , e2 , ..., e3 } . ∙ ¸

Ejemplo 1 Sea x =

1 2

, entonces ∙

¸ ∙ ¸ ∙ ¸ 1 1 0 =1 +2 = 2 0 1 = x1 e1 + x2 e2 ∙ ¸ 1 x1 = 1 y x2 = 2 son las coordenadas del vector x = con respecto a la 2 base {e1 , e2 } . x= Sea {t1 , t2 , ..., tn } otra base para Rn , esto es: x = x1 t1 + x1 t1 + ... + x1 t1 = e e e ⎤ ⎡ x1 e ⎢ . ⎥ = [t1 t2 ...tn ] ⎣ . ⎦ = . e = Tx xn e (3)

x1 ∈ R ∀i = 1, n son las coordenadas del vector x ∈ Rn con respecto a la e base {t1 , t2 , ..., tn } .

1

Ejemplo 2 Sea x ∈ R2 el vector del ejemplo 1: x = (Ã El vector x = siguiente manera: ∙ 1 2 ¸ ∙
1 √ 2 1 √ 2

! Ã ,

1 − √2 1 √2

!)

∙

1 2

¸

y sea la base

puede expresarse en términos de esta nueva base de la ¸ Ã ¸ ! Ã !

x=

1 2

es un sistema de dos ecuaciones con dos ∙ ¸ 1 incógnitas. Resolviendo para x1 y x2 , el vector x = e e puede escribirse 2 como: ! ! Ã Ã ∙ ¸ 1 1 √ − √2 1 3 1 2 +√ = x = =√ 1 1 √ √ 2 2 2 2 2 " #" # 1 1 3 √ √ − √2 2 2 e = = Tx 1 1 1 √ √ √
2 2 2

Esta expresión para x == x1 e ∙ 1 2

1 √ 2 1 √ 2

+ x2 e

1 − √2 1 √ 2

e vector x = x1 = e (Ã

e ∙ El vector x es el vector x con respecto a la nueva base. Esto es, el vector x = ¸ 1 tiene las coordenadas x1 = 1 y x2 = 2 con respecto a la base {e1 , e2 } y el 2 " #
3 √ 2 1 √ 2

es la representación del mismo vector x,cuyos componentes

3 1 √ , x2 = √ , e 2! Ã 2 1 1 √ − √2 2 , 1 1 √ √ 2 2

son lascoordenadas del vector x con respecto a la base !) .

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Representación de un mapeo lineal en diferentes bases

Sea la base normal para Rn dada por (1). Sea A : Rn −→ Rn y sea x ∈ Rn . Considérese el mapeo y = Ax (4) En esta expresión, los vectores x y y están expresados en la base normal. Considérese una nueva base para Rn : {t1 , t2 , ..., tn } , ti ∈ Rn ∀i = 1, n 2 (5)

La representación delos vectores x y y en esta nueva base están dadas por e x =T x (6) (7)

En donde T = [t1 t2 ...tn ] ∈ Rn . e El mapeo A : Rn −→ Rn en la base normal tiene una representación A en la nueva base (5) tal que ˜x e y = Ae (8) e La cuestión es encontrar la expresión que defina a A. De la expresión (8) se tiene que e y = T −1 y e x = T −1 x (9) (10)

e y = Ty

e e Substituyendo a x y a y en (8) setiene

˜ AT −1 x = T −1 y =⇒ ˜ y = T AT −1 x

(11)

Comparando esta última expresión con la expresión (4), es claro que ˜ A = T AT −1 y consecuentemente que e A = T −1 AT (12)

que es la representación de la matriz A en la base dada por (5). Ejemplo 3 Considere la matriz ⎤ 3 2 −1 A = ⎣ −2 1 0 ⎦ 4 3 1 ⎡

Considere la siguiente base: ⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫ −1 −4 ⎬ ⎨ 0 ⎝ 0 ⎠,⎝ 0 ⎠,⎝ 2 ⎠ ⎭ ⎩ 1 1 −3La representación de A con respecto a esta base es: e A = T −1 AT 3

donde

y finalmente:

⎤ ⎡ ⎤ 0 −1 −4 1 3.5 1 2 ⎦ y T −1 = ⎣ −1 −2 0 ⎦ T =⎣ 0 0 1 1 −3 0 0.5 0 ⎤ 0 0 17 e A = T −1 AT = ⎣ 1 0 −15 ⎦ 0 1 5 ⎡

⎡

Otra forma de obtener la solución al problema planteado es observando que Aei , es igual a la i-ésima columnna de la matriz A expresada en la base normal (1). Y que si seselecciona una nueva base, por ejemplo la base {t1 , ..., tn } f la i-ésima columnna de la nueva representación A de la matriz A es la representación del vector Ati con respecto a la base {t1 , ..., tn } . Ejemplo 4 Considere los mismos datos del ejemplo anterior. Sean ai y ˜i a ˜ ∀i = 1, n las i-ésimas columnas de las matrices A y A respectivamente y aij y e aij ∀i = 1, n, j = 1, n los elementos de...