Matrices 09


MATRIZ

Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas y columnas.

Columnas


........


Notación : Las matrices se denotan con letras mayúsculas , tal como A. B .C, D , ........... etc.
En forma abreviada una matriz se denota por:



Orden de una matriz
El orden de una matriz está dado por el producto indicado m x n , donde “m” indica el númerode filas y “n” el número de columnas.

Ejemplos:
;
Es una matriz de orden 2x3 Es una matriz de orden 3x3

Tipos de matrices

Matriz Rectangular.
La matriz de orden m x n , con ,recibe el nombre de matriz rectangular.
Ejemplo.

Matriz Fila .
La matriz de orden 1x n , se denomina matriz fila o vector fila .
Por ejemplo.

A = ( 2 1 5 6 ) ,
es una matriz fila deorden 1 x 4.

Matriz Columna.
La matriz de m filas y una columna recibe el nombre de matriz columna de orden m x 1.

Ejemplo.

Es una matriz columna de orden 4 x 1

Matriz Cuadrada.
Una matriz es cuadrada si el número de filas es igual al número de columnas (m =n )

Ejemplo.


Diagonal principal :
Está formada por todos los elementos de igual subíndice de la matriz A.



Trazade una matriz. Se define como la suma de los elementos de la diagonal principal.
Esto es :
Traza ( A ) = 1 + 2 + 4

Propiedades de la traza
Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden y escalar entonces se tiene :






MATRICES CUADRADAS ESPECIALES

1. Matriz Triangular Superior.
Si los elementos ubicados por debajo de la diagonal principal son ceros, decimos que, A es unamatriz triangular superior, esto es: ;
Ejemplo :
A =

2. Matriz Triangular Inferior.
Si los elementos ubicados sobre la diagonal principal son ceros, decimos que, A es una matriz triangular inferior, esto es: ;
Ejemplo.
A =

3. Matriz Diagonal.
Es aquella matriz cuadrada donde al menos un elemento de la diagonal principal no es cero y los demás son todos ceros , es decir :.
Ejemplo:

M = ;

4. Matriz Escalar.
Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal; son iguales a un número diferente de cero ; es decir : , ;
k : escalar.

Ejemplo.
;

5. Matriz Identidad.
Es toda matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal es igual a 1.
Ejemplo.


= ; =




6. Matriz Nula.
Es la matriz cuyoselementos son ceros, esto es:
S =

7. Transpuesta de una Matriz ().
Es la matriz que se obtiene, al intercambiar filas por columnas.
Ejemplo:
Sea : Q = 

Propiedades.
Sea A y B matrices conformables en la adición y multiplicación ,entonces se tiene.




, k : escalar



8. Matriz Simétrica.
Una matriz A es simétrica si y solo si es igual a su transpuesta
Ejemplo:

A =  =
Luego Aes simétrica

9. Matriz Antisimétrica.
Una matriz A es Antisimétrica si y solo si
Ejemplo:
A =  =

Como , entonces A es una matriz antisimétrica
IGUALDAD DE MATRICES
Se dice que dos matrices A y B son iguales cuando son del mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales

Ejemplo
Dadas las matrices
se tiene que:

, de donde se deduce que:
x = 5 , y = 2 , z= -1


OPERACIONES CON MATRICES

1. ADICIÓN DE MATRICES
Sean las matrices ;
Definimos a la matriz suma de A y B como :

A + B =
Ejemplo.

Dadas las matrices :

A =, B =

=

Nota





Propiedades de la adición de matrices
Dadas las matrices A, B y C, del mismo orden, entonces se cumple :

A + B = B + A Conmutativa
(A + B) + C = A + (B + C) AsociativaElemento Neutro
. Elemento inverso Aditivo.



1. DIFERENCIA DE MATRICES
Dados dos matrices A y B del mismo orden m x n, la diferencia entre A y B Es otra matriz C del mismo orden tal que C =

Ejemplo.
Dadas las matrices A = , B

A-B =



3. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Dada una matriz A y un escalar, el producto de por A se define por :
A =.,
Cada...