Matrices Det y Sistemas

1. MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
¿Qué es una matriz de orden m x n?

 a 11

 a 21
A= .

 .

 a m1

− 1 2 0


1
3
5


2x3

a 12
a 22
.
.
am2

2 − 1 6


0 0 3
 1 5 9



. . a 1n 

. . a 2n 
. . . 

. . . 

. . a mn 

(0 3 − 5 2 )
1x4

3x3

• Si m ≠ n, A es rectangular
• Si m = n, A es cuadrada

a23
a33

 1
 
 − 1
 6
 
 3

00


0
0


2x2

4x1
Matriz
Nula, θ

1. MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sea A cuadrada de orden n.

Diagonal principal de A

 a 11 a 12

 a 21 a 22
A= .
.

.
 .

 a n1 a n 2

. . a 1n 

. . a 2n 
. . . 

. . . 

. . a nn 

•A es diagonal si son nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal
• A es triangular superior si son nulos todos loselementos por debajo de la diagonal
principal
• A es triangular inferior si son nulos todos los elementos por encima de la
diagonal principal

 1 0 0


0 − 2 0
0 0 3



 1 5 0


0 − 2 7
0 0 3



0 0
 1


 − 4 − 2 0
 3

5
3



1. MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sea A cuadrada de orden n.

Diagonal principal de A

 a 11 a 12

 a 21 a 22
A=.
.

.
 .

 a n1 a n 2

. . a 1n 

. . a 2n 
. . . 

. . . 

. . a nn 

• A es simétrica si son iguales los elementos simétricos respecto de la diagonal
principal
1 5 0





5 − 2 7
0 7 3



• A es antisimétrica si son nulos los elementos de la diagonal principal y opuestos
los elementos simétricos respecto de la misma
 0 − 5 3



5
0
7


 − 3 − 7 0



1. MATRICES,DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA: A + B, matrices del mismo orden

 − 1 2 0 0 3 − 2
 -1 . .   − 1 5 − 2 

+
 =
= 

4
.
.
1
3
5
1
1
8
2
4
13

 



 

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL: αA

§ 2 3 · § − 10 − 15 ·
¨
¸
¸ ¨
5 ¸
¨ 0 − 1¸ ¨ 0
−5¨
=
0 1¸ ¨ 0
−5 ¸
¨¨
¸¸
¸¸ ¨¨
© 2 6 ¹ © − 10 − 30 ¹

1. MATRICES, DETERMINANTES YSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n: At

−1 2 

 − 1 5 − 2 
4
 = 5

2
4
13

 

 − 2 13 
t

Observación: si A es cuadrada, entonces:
A simétrica

⇒

At = A

A antisimétrica

⇒

At = -A

PRODUCTO DE DOS MATRICES: AB

El número de columnas de A ha de ser igual al número de filas de B

Am x n B n x p = Cm x p

1. MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES
§ − 1 1 0 − 1·
¸  c11 c12
§ − 1 2 0 ·¨
5 1 1 ¸ =
¨
¸¨ 2
c
2
3
1
−
¹¨
©
¸
 21 c 22
0
2
0
0
−
©
¹
2x3

c13
c 23

c14 

c 24 

3x4

(-1)(-1)+2⋅⋅2+0⋅⋅0=5
5 9 2 3
C=

4
19
3
1



(-1)⋅⋅1+2⋅⋅5+0⋅⋅(-2)=9

1. MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
DE ORDEN 2:

2 5
3 1

a11

a12

a 21

a 22

= 2 ⋅ 1 − 5 ⋅ 3 = −13

=a11a 22 − a12a 21
1

1

−1 2

= 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ ( −1) = 3

DE ORDEN 3:

a11

a12

a13

a 21
a 31

a 22
a 32

a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a 33 a a a - a a a - a a a
13 22 31
21 12 33
23 32 11

1. MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1
1 0
−1 2 3 = 4+ 0+ 0− 0+ 3+ 2 = 9
0 −1 2

DE ORDEN SUPERIOR A TRES:
Sea A una matriz cuadrada de orden n
Menor complementario delelemento aij: es el determinante de
orden n-1 que se obtiene al suprimir en A la fila i y la columna
j. Se denota por αij.
2 −1 3

1 2 −1
A=
0 −1 2

4 3 −1

4
1 2 0
−1 3 4

0
α 13 = 0 − 1 5 = 23 α 41 = 2 − 1 0 = −13

5

4 3 2
−1 2 5
2

1. MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Adjunto del elemento aij:
α ij
A ij = 
 − α ij

si i + j par
si i + j impar

En el ejemploanterior, A13= 23, A41=13
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

1. El determinante de una matriz y de su traspuesta son iguales
2. Si una fila o columna de una matriz tiene todos sus elementos
nulos, entonces el determinante de la matriz es igual a cero.

3. Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o
proporcionales, entonces su determinante es igual a cero.

1. MATRICES, DETERMINANTES Y...