matrices solucionadas

SOLUCIONES
EJERCICIOS MATRICES


Ejercicio nº 1.-

Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert.Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

Solución:

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos, con las cantidades en gramos.



Si queremos las cantidades expresadas en kilogramos, haremos:Ejercicio nº 2.-

Resuelve razonadamente la siguiente ecuación matricial.



Solución:









Por tanto:




Ejercicio nº 3.-

a) Estudia para qué valores de  existe la inversa de la siguiente matriz:





Solución:

 Utilizando determinantes:













 Por método de Gauss:

a) Estudiamos el rango de A:Ejercicio nº 4.-

Expresa y resuelve el siguiente sistema de forma matricial:



Solución:

 Utilizando determinantes:

Expresamos el sistema en forma matricial:

Si llamamos:



Para resolverlo, despejamos X multiplicando por la izquierda por A -1:









Obtenemos X:



Por tanto, la solución del sistema es:

x = 2, y = 0, z = 1


Por método de Gauss:












Ejercicio nº 5.-

Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:

A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.

B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.

C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.



a) Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras,manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C).

b) Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterías.

c) Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que se gastaría cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías.

Solución:



c) El producto de las dos matrices anteriores nos da lamatriz que buscamos:





Ejercicio nº 6.-

Halla una matriz B, sabiendo que su primera fila es (1, 0), y que verifica



Solución:

Como A es una matriz 2 3 y A B es 2 2, B ha de ser una matriz 3 2. Sabemos que su primera fila es (1, 0).

Entonces:



Por tanto:



Luego:




Ejercicio nº 7.-

Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando lamatriz inversa:



Solución:

 Utilizando determinantes:

Expresamos el sistema en forma matricial.













Obtenemos X:



Por tanto, la solución del sistema es:

x = 3, y = 1, z = 0



 Por método de Gauss:
















Ejercicio nº 8.-

Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres hoteles,a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles o sencillas) que necesita cada una de las tres familias.

b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres hoteles.

c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el gasto diario que tendría cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles.Solución:



c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos:




Ejercicio nº 9.-

Halla la matriz X 2 + Y 2, donde X e Y son dos matrices cuadradas de orden dos, verificando:



Solución:







Por tanto:









Luego:

Ejercicio nº 10-

Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:



Solución:...