MATRICES Y Det

MATRICES y DETERMINANTES
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el matemático ingles J.J. Sylvester.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de diversos problemas.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría,estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...
CONCEPTO DE MATRIZ
Cuando necesitamos presentar alguna información que requiera el uso de tablas ocuadros necesitaremos una nueva herramienta matemática: Las matrices.
Una matriz de clase “mxn” es un arreglo rectangular de “m.n” números reales ordenados en “m” renglones ( o filas) y “n” columnas.
El orden o clase de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo  m  y  n  números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismascon letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila  i  y la columna  j   se escribe  aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)
                     
Cuando nos referimos indistíntamente a filas o columnas hablamos de lineas.
El número total de elementos de una matriz  Am×n es   m·n

MATRICES IGUALES
Dos matrices  A = (aij)m×n  y  B = (bij)p×q  son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir : 

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma y sus elementos reciben nombres diferentes:
:
Tipo de matriz
Definición
Ejemplo
   FILA
Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo suorden  1×n

   COLUMNA
Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1

   RECTANGULAR
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n ,

   TRASPUESTA
Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por  At  ó  AT

   OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es laque resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es   -A.

   NULA
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

   CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de orden n.
Diagonal principal : son los elementos  a11 , a22 , ..., ann  
Diagonal secundaria : son loselementos  aij con   i+j = n+1


Diagonal principal : 
Diagonal secundaria : 
SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A = At  , aij = aji  

ANTISIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.
A = -At  , aij = -aji   
Necesariamente  aii = 0  

DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principalESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principalnulos.










OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES
La suma de dos matrices  A = (aij)m×n  y  B = (bij)p×q  de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p  y  n = q  es otra matriz  C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij)



Es una ley de composición interna con las siguientes

PROPIEDADES:
· Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C
· Conmutativa : A+B = B+A
· Elem. neutro : ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0...