MATRICES Y DETERMINADAS

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Zacatenco
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica
Academia de Matemáticas
Fundamentos de Álgebra. Tarea 1
Julio César Vera Hernández

1.

Sistemas de ecuaciones lineales

Problema 1. Para el sistema de ecuaciones
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
.

(1)

am1 x1 + am2x2 + · · · + amn xn = bm
supóngase que escogemos m escalares c1 , . . . , cm tales que la j-ésima fila se multiplica por cj y luego se suman. Así, se obtiene la
ecuación
(c1 a11 + · · · + cm am1 )x1 + · · · + (c1 a1n + · · · + cm amn )xn = c1 b1 + · · · + cm bm ,
(2)
la cual se conoce como combinación lineal del sistema (1). Por otra parte, se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales sonequivalentes si cada ecuación de cada sistema es combinación lineal de las ecuaciones del otro sistema. Determine si los pares de
sistemas de ecuaciones siguientes son equivalentes, y si es así, exprese cada ecuación de cada sistema como combinación lineal de
las ecuaciones del otro sistema así como sus soluciones, en caso de que existan.
(a)

x1 − x2 = 0
2x1 + x2 = 0

(b)

2x1 + (−1 + i)x2 + x4 = 03x2 − 2ix3 + 5x4 = 0

2.

Operaciones fundamentales con matrices

3x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 0

(c)

−x1 + x2 + 4x3 = 0
x1 + 3x2 + 8x3 = 0
1
5
2 x1 + x2 + 2 x3 = 0

x1 − x3 = 0
x2 + 3x3 = 0

(1 + 2i )x1 + 8x2 − ix3 − x4 = 0
2
1
3 x1 − 4 x2 + x3 + 7x4 = 0

Problema 2. Construir una matriz (ajk ) ∈ M3×2 (R), donde ajk = j 2 − jk.
Problema 3. Sea la delta de Kronecker definida por
δjk :=

1
0

j=k
.
j=kConstruir una matriz (ajk ) ∈ M3×4 (R) donde ajk = 3k + k 2 δjk .
Problema 4. Si A = (ajk ) ∈ Mn×n (R), decimos que A es diagonal si ajk = αj δjk , para algún αj ∈ R. Si A, B ∈ Mn×n (R) son
matrices diagonales, demostrar que A y B conmutan y escribir de manera explícita al producto AB.
Problema 5. Una matriz M se dice simétrica si M = M . Encontrar el número máximo de entradas distintas encualquier matriz
simétrica n × n.
Problema 6. Si A =
1 La

0
1

1
, encontrar AN , N ∈ N1 .
1

sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .

La sucesión inicia con f0 = 0 y f1 = 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores, es decir, fn+2 = fn+1 + fn . A cada elemento fn de esta

1


1
Problema 7. Si A = 00

1
1
0



0
1

1, demostrar que An+1 = 0
1
0

n+1
1
0


n(n + 1)

2
n + 1 .
1

Problema 8. Si A, B ∈ Mn×n (R), determinar una condición suficiente y necesaria para que
(a) (A + B)(A + B) = A2 + B 2

(b) (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .

Problema 9. Sea f (x) := a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 + an xn un polinomio y sea A ∈ Mm×m (R). Denotamos por
1 2
14 2
f (A) := a0 In×n +a1 A+a2 A2 +·· ·+an−1 An−1 +an An . Si f (x) = 3x2 −5x−2 y A =
, demostrar que f (A) =
.
3 1
3 14
Problema 10. Una matriz A ∈ Mm×m (R) se dice idempotente si A2 = A. Demuestre que las siguientes matrices son idempotentes:


−26
(a)  21
12

−18
15
8


−27
21 
13


1
(b) 0
0

0
1
0


0
0.
0

Problema 11. Se dice que una matriz es antisimétrica si A = −A . Encontrar el número máximo de elementos distintosen
cualquier matriz antisimétrica n × n.
Problema 12. Demostrar que si A es antisimétrica, entonces A2 es simétrica.
Problema 13. Sean A, B matrices antisimétrica n × n. Demostrar que AB es simétrica si y sólo sí AB = BA.
Problema 14. Demostrar que toda matriz cuadrada puede ser expresada como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.

3.

Matrices inversas


1
Problema 15. Sean A =2
1


−1
2 yB =
0

3
−4

1
. ¿Existe una matriz C tal que CA = B?
4

Problema 16. Sea A ∈ Mn×n (R). Si existe B ∈ Mn×n (R) tal que AB = In×n , demostrar que entonces B = A−1 .
Problema 17. Encontrar la inversa, si es que existe, de las siguientes matrices:
(a)

a
c

b
d

∈ M2×2 (R)

(b)

cos θ
− sen θ

sen θ
cos θ



2
(c) 0
0

3
5
0


4
6
1

Problema 18. Si A ∈ Mn×n (R), ¿es cierto que...