Matrices y Determinantes

INSTITUTO TECNOLOGICO DE PIEDRAS NEGRAS

MATERIA: MATEMATICAS IV

“RESUMEN DE LA UNIDAD 2”

ELIHU LOPEZ VILLARREAL

NO. DE CONTROL: 08/065

PROF. ING. GUADALUPE HERNANDEZ LOZOYA

15 DE OCTUBRE DEL 2010

UNIDAD 11 MATRICES Y DETERMINANTES

2.01_DEFINICION DE MATRIZ, NOTACION, ORDEN

Concepto de matriz
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos enforma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número defilas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

2.02_OPERACIONES CON MATRICES (SUMA,RESTA, PRODUCTO DE UN ESCALAR CON UNA MATRIZ Y PRODUCTO MATRICIAL)

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La suma de dosmatrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (-A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa:
A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz A = (aij)y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
k · A=(k aij)

Propiedades
a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b
a · (A + B) = a · A + a · BA,B Mmxn , a
(a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b
1 · A = A A Mmxn

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicenmultiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices
Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es lamatriz identidad del mismo orden que la matriz A.
No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C

2.03_CLASIFICACION DE LAS MATRICES

Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número defilas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior loselementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en...