matrices y determinantes

En matemáticas, una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números o, más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.

Definiciones y notaciones

Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas o renglones y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz -por-(escrito ), y y son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-ésima de A. Esto se escribe como

Normalmente se escribe

o

para definir una matriz A con cadaentrada en la matriz llamada y . Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 y .

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y unamatriz (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Definición de igualdad y suma de matrices

Sea,y matrices .

1)
2)




Propiedades de la suma de matrices

Sea,y matrices , entonces
1.-
Conmutativa de la suma
2.-
Asociativa
3.-
Existencia de la matriz nula
4.-
Existencia de la matriz opuesta



Producto de una matriz por un escalar

El producto de unnumero real c (escalar) con una matriz es :



Producto de matrices

Sea una matriz y sea una matriz . El producto es la matriz tal que



para 1,2,3,…m y 1,2,3,…p

la multiplicación de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha.

Si y , entonces su producto matricial AB es lamatriz





El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir,

.

La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.
















Clasificación de matrices
En álgebra lineal, una matriz triangular es untipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices.
Una matriz cuadrada deorden n se dice que es triangular superior si es de la forma



Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular inferior si es de la forma



Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz es diagonal si , i.e.



Una matriz escalar es una matriz diagonal enla que los elementos de la diagonal principal son iguales, por ejemplo:






Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.


Se llama potencia K-ésima de una matriz cuadrada A, donde , al producto de A por si mismo, repetido k veces.

A esto tenemos que


A partir de la definición de potencia tenemos:

a) Matrizperiódica de periodo n es aquella matriz que verifica

b) Matriz nilpotente de índice n, es aquella matriz tal que

c) Matriz involutiva es aquella que verifica:



Matriz transpuesta
Dada una matriz se llama transpuesta de A y se escribe , a la matriz que resulta de cambiar ordenadamente los renglones por columnas


Propiedades
i.
ii.
iii.
iv.
v. A es simétrica
vi. A es...