matrices y determinantes

Matrices y determinantes
 
Objetivos :
Identificar tipos de matrices.
Realizar la suma y el producto de matrices e identificar su problemática.
Obtener el rango de una matriz.
Utilizar el concepto de inversa de una matriz.
Utilizar las propiedades de los determinantes.
Mostrar aplicaciones del cálculo matricial.
Mostrar aplicaciones de los determinantes.

Matrices

IntroducciónLas matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemáticoW.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas deecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datosse introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos







Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ...,n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Algunos tipos de matrices

Vamos a describir algunostipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.


Matriz traspuesta
Dada unamatriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matrizregular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.


Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz...