Matrices y Determinantes

Capítulo 1


1.- MATRICES


1.1.- Definición

Llamaremos matriz de orden “p * n” a un tablero rectangular de elementos de un determinado conjunto K organizados en p _las y n columnas, considerado como una entidad y delimitado por paréntesis o corchetes.

Las matrices se suelen denotar por letras mayúsculas y las entradas que las componen, denominadas elementos o coeficientes, porletras minúsculas con subíndices que indican el lugar que ocupan en la matriz. El primer subíndice especifica la posición en las filas y el segundo subíndice su posición en las columnas. Así, a12 denota el elemento en la primera fila y segunda columna de la matriz A. En general, una matriz “p * n” tiene la forma.



De manera abreviada se suele escribir:

A = (aij); i: índice de fila, j: índicede columna.

Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los elementos correspondientes son iguales.

El conjunto de todas las matrices de orden p*n se denota por Mp*n (K), y cuando no hay ambigüedad en cuanto al conjunto K, simplemente por Mp*n.

Las matrices se usan en muchos contextos, en particular para organizar tableros de datos, para la resolución de ecuacioneslineales, etc. Como curiosidad histórica, digamos que el matemático inglés J. Sylvester (1814-1897) fue el primero que usó el término “matriz" en 1850, para distinguir las matrices de los determinantes (los cuales se estudiarán más adelante). De hecho, la intención era que el término “matriz" tuviera el significado de ‘madre de los determinantes'.

Ejemplos

(a) A = es una matriz de tamaño uorden 2x3, siendo a11 = 2;
a12 = 1; etc.

(b) La matriz A M3x3(R) tal que aij = 2i - j se escribe explícitamente como:

A =
(c) Organiza los siguientes datos en forma de matriz: una tienda tiene dos almacenes como proveedores de electrodomésticos; el primer almacén tiene dos lavadoras, dos cocinas y tres neveras en stock; el segundo tiene cuatro cocinas, tres lavadoras y una nevera.Solución. La matriz será en este caso:
A =
Si disponemos los dos almacenes en las filas y los diferentes artículos en las columnas.

(d) Consideremos la matriz A M2x3 dada por :

A =

Obsérvese que los coeficientes de una matriz no tienen por qu_e ser necesariamente números reales. En este ejemplo los elementos son polinomios de grado a lo sumo 2.

A partir de ahora trabajaremos, a menosque se especifique lo contrario, con K = R, es decir, con matrices cuyos elementos son números reales.











1.2.- Tipos de Matrices

Ciertos tipos de matrices aparecen tan frecuentemente que es preferible darles una denominación especial y tratarlas separadamente.

Matriz Fila: Una matriz fila es una matriz con sólo una fila.

A = (1 2 -1) es una matriz fila.Matriz Columna: Una matriz columna sólo posee una columna.
B = es una matriz columna.

Matriz Cuadrada: Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas.

En general, una matriz cuadrada de orden ‘n’ tiene la forma:


Con los elementos a11; a22;…; ann formando la diagonal principal.

Matriz Diagonal: Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuerade la diagonal principal son todos cero. Una matriz identidad, denotada como I, es una matriz diagonal que tiene todos sus elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Así, la matriz identidad 2x2 es:

I =


Matriz Nula: Se define como matriz nula a la matriz cuyos elementos son todos ceros.

O =



Matriz Triangular: Una matriz A = (aij) es triangular superior si aij = 0,
para i> j, esto es, todos sus elementos por debajo de la diagonal principal son cero. Si aij = 0 para i < j, esto es, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero, entonces A es triangular inferior. Ejemplos de matrices triangular superior y triangular inferior son, respectivamente:

As = y Ai =


Matriz Traspuesta: Se define la traspuesta de una matriz A, como...