matrices y determinantes

UNIDAD I:SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES Y
MATRICES

Objetivos particulares:

Identificar la naturaleza de los sistemas de ecuaciones lineales
Resolver los sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método de
eliminación de Gauss
Aplicar los conocimientos adquiridos de matrices en la solución de
sistemas de ecuaciones lineales
Realizar operaciones con matrices
Distinguir los diferentestipos de matrices cuadradas y su aplicabilidad
en la determinación de la inversa

Contenido programático:
Sistemas de ecuaciones lineales. Naturaleza de los mismos
Sistemas equivalentes
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el
método de Gauss
Matrices. Definición y notación
Tipos especiales de matrices
Matrices y sistemas de ecuaciones
Propiedades elementales en las lineasde una matriz
Solución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos

Contenido programático (cont…)

Revisión de las operaciones con matrices
Ecuaciones matriciales
Inversibilidad de una matriz
Partición de matrices

Ecuación lineal
La ecuación general de la recta en R2 es de la forma:

ax + by = c
La ecuación general de un plano en R3 es de la forma:
ax + by + cz = d
Una ecuación linealcon n variables tiene la forma:
a1x1 + a2x2 + …+ an xn = b

Ecuación lineal…
Ejemplos:

3x – 4y = 2
5x +6 y – 7z = 0

2𝑥 +

𝜋
4

𝜋

𝑦 − sin 5 z = 1

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales?:
a)
b)
c)
d)
e)
f)

xy – 5x + 6y = 1
Log5x + 2 = log4
sen 3x – cosx = ½
23x = 8
x2 – 3x + 4 = 0
5x log 10 – 7x = 1

Ecuación lineal…

Una ecuación lineal en su forma elemental tiene la forma:
ax =b , donde a, b ∈ R
Naturaleza o características de una ecuación lineal:

𝑎 ≠𝑜𝑦𝑏 ≠𝑜

Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL)

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones
lineales que se satisface para el mismo c.s. (conjunto solución).
Un SEL de m ecuaciones por n incógnitas tiene la forma:
a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1
a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.am1x1 + am2x2 + …+ amn xn = bm

Resolver : x + y = 1
x+y=5

Naturaleza o Características de los Sistemas
de Ecuaciones Lineales:

Naturaleza SEL…

Sistemas de ecuaciones lineales…

Sistema en forma triangular:

5x1 + 7x2 + 10 x3 = 2
4x2 + 8 x3 = -7
10 x3 = 0

Sistema en forma escalonada:

5x1 + 7x2 + 10 x3 + 30 x4 = 13
4x2 + 8 x3 - 4 x4 = -3
10 x3 + 15 x4 = 2

Sistemas equivalentes.
Son aquellosque tienen el mismo conjunto solución.
Los siguientes sistemas son equivalentes:
4x - 2y = 5
2x + 2y = 4
4x-2y = 5
x+y=2
x+ y=2
4x – 2y = 5
x+y =2
-6y = -3
C. S. (3/2, 1/2)

Transformaciones elementales por ecuación:

Consisten en:
Intercambiar dos ecuaciones.
Multiplicar una ecuación por una constante no nula.
Multiplicar una ecuación por una constante no nula y
sumársela a otra paralela,sustituyendo esta última por el
resultado obtenido.

Solución SEL. Método de eliminación De Gauss

Este método consiste en la eliminación consecutiva de las
incógnitas con el propósito de llegar a un sistema que tenga
forma escalonada.

Solución sistemas de ecuaciones por el método de Gauss.

Solución SEL. Método de eliminación De Gauss

Concepto de matriz: Es un arreglo rectangular de númerosdispuestos en m filas y n columnas, donde m y n son números
enteros y positivos.

Transformaciones elementales por renglón:

Dos matrices A y B son equivalentes por filas, si podemos pasar
de una a otra haciendo transformaciones elementales entre sus
filas.

Consisten en:
Intercambiar dos renglones.
Multiplicar un renglón por una constante no nula.
Multiplicar una renglón por una constante nonula y
sumársela a otro paralelo, sustituyendo este último por el
resultado obtenido.

Equivalencia SEL y Matrices

Los siguientes sistemas son equivalentes:
4x - 2y = 5
2x + 2y = 4
4x-2y = 5
x+y=2
x+ y=2
4x – 2y = 5
x+y =2
-6y = -3

Matriz escalonada:
El número de ceros anteriores al primer elemento no nulo
aumenta al pasar de un renglón a otro hasta obtener un
renglón eventualmente nulo, no...