Matrices y vectores

Matrices
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays)constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos

Matrices Suma
Si las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es:
A+B=(aij+bij).
La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matricesque ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiadosde signo.
Conmutativa:
A + B = B + A

Matrices Resta
 
Para poder restar las matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden restar. Esto es así ya que, tanto para la resta, los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices se restan.
 
Ejemplo:
 
 
  
 

Para restar más de dosmatrices se procede igual. No necesariamente para poder restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.
 
Ejemplo:
     
 

 
           

 
División de Matrices
 
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B  tal que A/B = AB-1:
 
Si una matriz está dividida entre unescalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.
 
Ejemplo:
 

 

Multiplicación de matrices
En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de multiplicación que se efectúa entre dos matrices, o bien entre una matriz y un escalar.
Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por unalgoritmo capaz de resolverla. El algoritmo que resuelve la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.
Dada una matriz A de m filas y n columnas, lo que podemos denotar como:

la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A osimplemente kA, está definida como:

es decir, corresponde a la matriz conformada por cada elemento de la matriz multiplicado por dicho escalar.

Gráficamente, si | |    y     | |    entonces     | |
La multiplicación por escalar es análoga a la suma o resta de matrices, y cumple con las mismas características de la multiplicación aritmética. En efecto, podemos llegar al mismo resultadosumando k veces la misma matriz A entre sí.

Matrices traspuestas
Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz traspuesta, denotada con At está dada por

En donde el elemento aji de la matriz original A se convertirá en el elemento aij de la matriz transpuesta At.
Ejemplos

Propiedades
Para toda matriz A

Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo y sea :

Si elproducto de las matrices A y B está definido,

Si A es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

es semidefinida positiva.
Definiciones asociadas
Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su transpuesta, esto es si

Es antisimétrica si coincide con su negativa.

Si los elementos de la matriz A son números complejos y su transpuesta coincide con su conjugada,...