Matrises

MATRICES
La búsqueda de formas para describir situaciones en matemáticas y economía, condujo al estudio de arreglos rectangulares de números. Por ejemplo, considere el sistema de ecuaciones lineales.
3x + 4y + 3z = 0,
2x + y – z = 0,
9x - 6y + 2z = 0.
Lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en las ecuaciones, junto con sus posiciones relativas. Por esta razón, elsistema puede describirse por el arreglo rectangular.
3 4 3
2 1 -1 ,
9 -6 2
Que es llamado matriz (plural: matrices). Consideraremos a tales arreglos rectangulares como objetos por sí mismos; se acostumbra encerrarlos entre corchetes, y también es común que se utilicen paréntesis. En la representación simbólica de matrices usaremos
letras mayúsculas en negritas como A, B, C, etcétera.
Confrecuencia, en economía es conveniente utilizar matrices en la formulación de problemas y para exhibir datos. Por ejemplo, un fabricante que manufactura los productos A, B y C, podría representar las unidades de mano de obra y material involucrados en una semana de producción de estos artículos, como se muestra en la siguiente tabla. De manera más sencilla, estos datos pueden representarse por lamatriz.
A = 1 0 1 2 1 6
5 9 7
Los renglones de una matriz están numerados de manera consecutiva de arriba hacia
abajo, y las columnas están numeradas de manera consecutiva de izquierda a derecha.
Para la matriz A anterior, tenemos
Columna 1 Columna 2 Columna 3
Renglón 1 10 12 16 = A.
Renglón 2 5 9 7
Ya que “A” tiene dos renglones (o filas) y tres columnas, decimos que “A” tiene orden
otamaño, 2 * 3 (se lee “2 por 3”), donde el número de renglones se especifica primero.
De manera semejante, las matrices
1 6 -2 1 2
B = 5 1 -4 y C = -3 4
-3 5 0 5 6
7 -8
Producto
A B C
Mano de Obra 10 12 16
Material 5 9 7
Tienen órdenes: 3 * 3 y 4 * 2, respectivamente.
Los números en una matriz se conocen como “Entradas” o elementos. Para denotar las
entradas arbitrarias de una matriz, digamosde una de orden 2 * 3, se usa la letra “a”,
junto con un subíndice doble apropiado para indicar su posición:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
Para la entrada a12 se lee “a subíndice uno-dos”, o sólo “a uno-dos”, el primer subíndice,
1, especifica el renglón, y el segundo, 2, la columna en la que aparece la entrada. De
manera similar, la entrada a23 (se lee “a dos-tres”) es la que se encuentra en elsegundo
renglón y la tercera columna. Generalizando, decimos que el símbolo aij denota la
entrada en el renglón i y en la comuna j.
Nuestra atención en este capítulo estará en la operación y aplicación de varios tipos de
matrices. Ahora daremos una definición formal de una matriz.
Definición
Un arreglo rectangular de números que consiste en “m” renglones y “n” columnas,
a11 a12 ..... a1na21 a22 ..... a2n
am1 am2 ..... amn
Se conoce como matriz de m x n, o matriz de orden m x n. Para la entrada aij, llamamos
a i el subíndice del renglón y a j el subíndice de la columna.
El número de entradas en una matriz de m * n es mn. Por brevedad, una matriz de m * n
puede denotarse por el símbolo aij m * n o de manera más sencilla aij , donde el orden se
entiende que es el apropiado parael contexto deseado. Esta notación solo indica qué
tipos de símbolos se utilizan para denotar la entrada general.
Una matriz que tiene exactamente un renglón, tal como la matriz de 1* 4
A = 1 7 12 3 ,
Se llama matriz renglón o vector renglón. Una matriz que consiste en una sola
columna como la matriz de 5 * 1
1
-2
15
9
16
Se llama matriz columna o vector columna.
EJEMPLO 1. Orden (otamaño) de una matriz
Un fabricante que utiliza las materias primas A y B, está interesada en hacer un
seguimiento de los costos de estos materiales que provienen de tres fuentes diferentes.
¿Cuál es el orden de la matriz que ella debe utilizar?
a. La matriz 1 2 0 tiene orden 1 * 3.
1 -6
b. La matriz 5 1 tiene tamaño 3 *2.
9 4
c. La matriz 7 tiene orden 1 * 1.
1 3 7 -2 4
d. La matriz 9...