Matriz positivo

matriz Positivo-definida

En álgebra linear, a matriz positivo-definida es a (Hermitian) matriz que de muchas maneras es análoga a a positivo número verdadero. La noción se relaciona de cerca con a positivo-definido simétrico forma bilinearia (o a forma sesquilinear en el caso complejo).
Contenido

* 1 Formulaciones equivalentes
o 1.1 Formas cuadráticas
* 2 matricesNegativo-definidas, semidefinite e indefinidas
* 3 Otras características
* 4 Matrices No-Hermitian
* 5 Notas
* 6 Vea también
* 7 Referencias

Formulaciones equivalentes

Dejado M sea n × n Matriz Hermitian. Denote el transportar de un vector a por aT, y la conjugación transporta por a * .

La matriz M es definido positivo si y solamente si satisface característicasequivalentes de siguiente unas de los:

1. Para todos los vectores complejos diferentes a cero z ∈ Cn,

Observe que la cantidad z * Mz es siempre verdadero porque M es una matriz Hermitian.

2. Todos valores propios λi de M sea positivo. Recuerde que Hermitian M, por teorema espectral, puede ser mirado como a verdadero matriz diagonal D eso re-se ha expresado en un cierto nuevo sistemacoordinado (es decir, M = P − 1DP para alguno matriz unitaria P de quién filas son los vectores propios orthonormal M, formando una base). Esta caracterización significa tan eso M es definido positivo si y solamente si los elementos diagonales de D (los valores propios) son todos positivos. Es decir en la base que consiste en los vectores propios de M, la acción de M es la multiplicacióncomponente-sabia con el elemento (fijo) de a adentro Cn con las entradas positivas.

3. forma sesquilinear define producto interno en Cn. (De hecho, cada producto interno encendido Cn se presenta de este modo de una matriz definida positiva Hermitian.)

4. M es Matriz del gramo de una cierta colección de vectores linear independientes. para alguno k. Más exacto, M se presenta definiendo cada entradaLos vectores xi puede ser restringido opcionalmente para caer adentro Cn. Es decir M está de la forma A*A donde A no es necesariamente cuadrado sino debe ser injective en general.

5. Todas las matrices siguientes tienen un positivo determinante ( Sylvester criterio):

* la izquierda superior 1 esquina by-1 de M
* la esquina superior by-2 de la izquierda 2 de M
* la esquinasuperior by-3 de la izquierda 3 de M
* ...
* M sí mismo

Es decir el todo el conducir menores de edad principales sea positivo. Para las matrices semidefinite positivas, todos los menores de edad principales tienen que ser no negativos. Los menores de edad principales principales solamente no implican semidefiniteness positivo, como puede ser visto del ejemplo

Para verdadero matricessimétricas, estas características pueden ser simplificadas substituyendo con , y la “conjugación transporta” con “transporta.”

Formas cuadráticas

Repitiendo la condición 3 arriba, una puede también formular la positivo-determinación en términos de formas cuadráticas. Dejado K sea campo R o C, y V sea a espacio del vector encima K. Una forma Hermitian

es a bilineario traz tales que B(x, y) estásiempre la conjugación compleja de B(y, x). Tal función B se llama definido positivo si B(x, x) > 0 para cada distinto a cero x en V.

matrices Negativo-definidas, semidefinite e indefinidas

n × n Matriz Hermitian M reputa negativo-definido si para todo diferente a cero (o, equivalente, todo diferente a cero ).

Se llama positivo-semidefinite si para todos (o ).

Se llamanegativo-semidefinite si para todos (o ).

Equivalente, una matriz es negativo-definida si todos sus valores propios son negativos, él es positivo-semidefinite si son todos mayor o igual cero, y es negativo-semidefinite si son todos inferior o igual cero.

Una matriz M es positivo-semidefinite si y solamente si se presenta como Matriz del gramo de un cierto sistema de vectores. En contraste con el...