Matriz y tipos de matriz

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Juan Manuel Badillo Juarez

303

Facultad de turismo y mercadotecnia

Matemáticas

Matrices y operaciones con matrices

Anna María Miranda Zavala

23/11/09

Matricula: 286072

Matriz

• Es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos.

• Es una tabla cuadrada orectangular de números (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz.

• Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número defilas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

[pic]

Suma o adición
La suma de dos matrices  A = (aij)m×n  y  B = (bij)p×q  de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p  y  n = q  es otramatriz  C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij)
[pic]
Es una ley de composición interna con las siguientes
PROPIEDADES:
· Asociativa: A+ (B+C) = (A+B)+C
· Conmutativa: A+B = B+A
· Elem. Neutro: (matriz cero 0m×n), 0+A = A+0 = A
· Elem. Simétrico: (matriz opuesta -A), A + (-A) = (-A) + A = 0
Al conjunto de las matrices de dimensión  m×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por Mm×n  y como hemos visto, por cumplir las propiedades anteriores,  (M, +) es un grupo abeliano.
¡¡ La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas. !!

Ejemplo 2
Dadas las matrices m-por-n, A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de loselementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
[pic]

Multiplicación de una matriz por un escalar

Dada una matriz A de m filas y n columnas, lo que podemos denotar como:
[pic]
la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA, está definida como:
[pic]
es decir, corresponde a la matriz conformada por cada elemento de la matrizmultiplicado por dicho escalar.
Gráficamente, si [pic]Y[pic] Entonces[pic]
La multiplicación por escalar es análoga a la suma o resta de matrices, y cumple con las mismas características de la multiplicación aritmética. En efecto, podemos llegar al mismo resultado sumando k veces la misma matriz A entre sí.

Multiplicación de una matriz por una matriz

Dadas dos matrices A y B, tales que elnúmero de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:
[pic]y [pic]
La multiplicación de A por B, que se denota A·B, A×B o simplemente AB, está definida como:
[pic]
Donde cada elemento ci,j está definido por:
[pic]
Gráficamente, si[pic] Y [pic]
Entonces [pic]

MATRIZ INVERSA
Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada  An  y larepresentamos por  A-1  , a la matriz que verifica la siguiente propiedad : A-1·A = A·A-1 = I
Decimos que una matriz cuadrada es  "regular"  si su determinante es distinto de cero, y es  "singular"  si su determinante es igual a cero.
[pic]
PROPIEDADES:
[pic]
• Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.
• La matriz inversa de una matrizcuadrada, si existe, es única.
• Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.
MÉTODOS PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA:
o Aplicando la definición
o Por el método de Gauss
o Por determinantes

Ejemplo 1.   Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de la...
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