Matriz

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Determinantes y Desarrollo por Cofactores
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM a 26 de mayo de 2010

´ Indice
18.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 18.2. El determinate de una matriz 2 × 2 . . . . . 18.3. Determinante 2 × 2: Regla de memorizaci´n o 18.4. Geometr´ del determinante 2 × 2 . . . . . . ıa 18.5. Determinante de una matriz 3 × 3 . . . . . 18.6. Regla de Sarruspara un determinante 3 × 3 18.7. El menor (i, j) de una matriz . . . . . . . . 18.8. El cofactor (i, j) de una matriz . . . . . . . 18.9. Definici´n del determinante . . . . . . . . . o 18.10. esarrollo de un determinante . . . . . . . . D 18.11. ugerencia para el c´lculo de determinantes S a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5

18.1.

Introducci´n o

El determinante de una matriz cuadrada A es un n´mero real asignado a ella. En la notaci´n matem´tica u o a el determinante de A se simboliza por det(A) o tambi´n por |A|. El determinante de una matriz es un n´mero eu que mide, entre otras cosas, si una matriz es invertible. Nuestro resultado m´s importante en este sentido es a |A| = 0 si y s´lo si A es una matriz invertible. En nuestro acercamiento, primero veremos c´mo se calcula el o o determinante de matrices cuadradas 2 × 2, y 3 × 3 y despu´s pasaremos al caso general. Una disculpa por el e abuso de las barras para simbolizar al determinante de unamatriz que podr´ confundirse son las utilizadas ıa para el valor absoluto de un n´mero: haremos lo posible por evitar confusiones escribiendo las matrices en u negritas y may´sculas para diferenciarlas de los escalares que es a los que se aplica el valor absoluto: u |A| = determinate de la matriz A |c| = valor absoluto del escalar c.

18.2.

El determinate de una matriz 2 × 2

Definici´n 18.1 oSea A una matriz 2 × 2: A= El determinante A se define como: |A| = det(A) = a11 a22 − a12 a21 (1) a11 a12 a21 a22

Ejemplo 18.1 Calcule el determinante de A1 = Soluci´n o Directamente de la definici´n se tiene o

1 2 3 4

, A2 =

−3 2 −1 8

det(A1 ) = (1)(4) − (2)(3) = 4 − 6 = −2 det(A2 ) = (−3)(8) − (2)(−1) = −24 + 2 = −22

18.3.

Determinante 2 × 2: Regla de memorizaci´n o

Unaforma de memorizar el c´lculo del determinante de una matriz 2×2 es la siguiente: escribir los elementos a de la matriz y hacer los productos en diagonal de manera que los que van de izquierda-arriba a derecha-abajo iran multiplicados por +1 mientras que los productos de izquierda-abajo a derecha-arriba ir´n multipliados a por −1: a11 a12 = +a11 a22 − a21 a12 |A| = a21 a22

18.4.
Sea

Geometr´del determinante 2 × 2 ıa
A= a11 a12 a21 a22 .

El ´rea del paralelogramo con esquinas P (0, 0), Q(a11 , a21 ), R(a12 , a22 ), y S(a11 + a12 , a21 + a22 ) es el valor a absoluto de |A|. Veamos algunos ejemplos donde se utiliza este hecho. Ejemplo 18.2 Calcule el ´rea del paralelogramo con lados v1 =< 3, 0 > y v2 =< 1, 2 > a
3 2 1 0

v2

v1 + v2

0 0 Soluci´n o A= 3 1 0 2

1

2

v1
34

= (3)(2) − (0)(1) = 6

Lo cual coincide con el resultado de base por altura: 3 × 2 = 6 Ejemplo 18.3 2

Determine el area del paralelogramo formado por los puntos P (1, 2), Q(2, 3), R(5, 5) y S(6, 6). Soluci´n o Traslademos el paralelogramo de manera que uno de sus v´rtices sea O(0, 0). Para ello elegimos cualquiera de e sus v´rtices y se lo restamos a sus cuatro esquinas. Digamos...
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