Maximáximo y Mínimo Para Una Variable Función Creciente Una Función Es Creciente En Un Intervalo , Si Para Dos Valores Cualesquiera Del Intervalo, y , Se Cumple Que: Función Decreciente Una

Máximo y mínimo para una variable

Función creciente

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:



Función decreciente

Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:



Ejemplo:
Sea f una función continuacon ecuación , definida en un intervalo . La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo .
En la gráfica puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos
2.) Decreciente en los intervalos

Máximo y mínimo relativo y absolución
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
Unafunción f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08 b = -3.08
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Punto crítico en unafunción variable independiente
Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a o b del dominio [a,b] de definición de la función.

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solomáximo.
Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.
Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.
La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que setrata de una recta horizontal.
En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.
En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.
En un punto crítico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empiezaa ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.
Para hallar máximos y mínimos (puntos críticos):

1) Derivar la función e igualar a 0.

y = 2x² + 1

y' = 4x

y' = 0 ------> 4x = 0 ------ > x = 0

Entonces el único punto crítico es x = 0.

2) Para saber si los puntos encontrados son máximos o mínimios, reemplazar el punto crítico en la segunda derivada. Si elvalor de la segunda derivada es negativo, entonces el punto es un máximo. Si el valor es positivo, entonces el punto es un mínimo.

Dijimos x = 0 único punto crítico. Derivemos otra vez:

y'' = 4

y'' (0) = 4 > 0

Por lo tanto el punto x = 0 es un mínimo.

- Para encontrar puntos de inflexión:

1) Derivar dos veces e igualar a 0.

y'' = 4

y'' = 0 ---> 4 = 0

Contradicción. Noexisten puntos de inflexión.

En resumen, la primera derivada representa la pendiente o el crecimiento de una función, entonces si la encuentras puedes saber cuándo la función crece, decrece o es un punto crítico. Por otro lado, la segunda derivada te habla sobre la concavidad de la función, es por eso que al buscar el punto de inflexión tomas la segunda derivada y la igualas a 0, buscas el punto enque se cambia de concavidad.
Punto de inflexión en funciones de variables independientes
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos...