maximos y minimos de una funcion

Introducción


Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea elmás pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un puntoen el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.











MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN


En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentrode una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.
Extremos relativos olocales
Sea , sea y sea un punto perteneciente a la función.
Se dice que es un máximo local de si existe un entorno reducido de centro , en símbolos , donde para todo elemento de se cumple . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse .

Análogamente se dice que el punto es un mínimo local de si existe un entorno reducido de centro , en símbolos , donde para todoelemento de se cumple .
Extremos absolutos
Sea , sea y sea un punto perteneciente a la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de perteneciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de . Esto es:
Máximo absoluto de .
Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor oigual que la de . Esto es:
mínimo absoluto de .
Cálculo de extremos locales
Dada una función suficientemente derivable , definida en un intervalo abierto de , el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:
1. Se halla la primera derivada de
2. Se halla la segunda derivada de
3. Se iguala la primera derivada a 0:
4. Se despeja la variable independientey se obtienen todos los valores posibles de la misma: .
5. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable independiente en la función.
6. Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada :
1. Si , se tiene un máximo en el punto .
2. Si , se tiene un mínimo en el punto .
3. Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivadapara la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
1. Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si y un mínimo si
2. Si la derivada no es par, se trata de un punto de inflexión ,pero no de un extremo.
Ejemplo
Sea .
Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión.
Dada la función , se tiene que:



• Extremos:

existe un máximo en .
existeun mínimo en .
• Puntos de inflexión
.
existe un punto de inflexión en .
Extremos condicionados
Un problema de extremos condicionados consiste en buscar un extremo de una función no sobre cualquier punto de su dominio sino sobre un subconjunto del dominio de la función que puede expresarse como variedad diferenciable . Más concretamente consiste en encontrar un máximo (o un mínimo)...