Aplicaciones de funciones, máximos y minimos

Tarea #2 de Matem´ticas Aplicadas

16-Agosto-2010

1 Problemas Aplicados de Funciones

Problema 1.1 A $300.00 un fabricante est´ dispuesto a ofrecer $60, 000 art´
a
ıculos y si el precio es $250.00, ´l
e
est´ dispuesto a ofrecer $52, 000; determinar la ecuaci´n de oferta y de su interpretaci´n.
a
o
o
Soluci´n:
o
Sean los puntos (300; 60, 000) y (250; 52, 000), obtengamos la rectaque une a estos dos puntos
60, 000 − 52, 000
8, 000
=
= 160
300 − 250
50
Sustituyendo la pendiente en la formula punto pendiente dada por
m=

(y − y1 ) = m(x − x1 ) ⇔ (y − 52, 000) = 160(x − 250)
⇔ y = 160x − 40, 000 + 52, 000
⇔ y = 160x + 12, 000
Interpretaci´n:
o
Por cada peso que aumente, la demanda aumentar´ 160; en decir, si el precio aumenta, la demanda aumenta
a
y adem´s x= y = 5.
a
Problema 1.2 Una fabricanta compra una maquinaria en $20, 000 millones y se desprecia linealmente de
manera que su valor de recuperaci´n ser´ de $1, 000 millones a los $10 a˜os.
o
a
n
• Exprese el valor de la maquinaria en funci´n del tiempo.
o
• ¿Cu´l es su valor en libros al cuarto a˜o?.
a
n

Valor de Depreciaci´n =
o

20, 000 − 1, 000
= 1, 900
10

y1 = 20, 000 −1, 900 = 18, 100
Por lo tanto el punto (x1 , y1 ) = (1; 18, 100) y el punto (x2 , y2 ) = (10; 1, 000). Encontremos la funci´n lineal que
o
pasa por estos dos puntos:
1, 000 − 18, 100
−17, 100
=
= −1, 900
10 − 1
9
Sustituyendo la pendiente en la formula punto pendiente dada por
m=

1

(y − y1 ) = m(x − x1 ) ⇔ (y − 18, 100) = −1, 900(x − 1)
⇔ y − 18, 100 = −1, 900x + 1, 900
⇔ y =−1, 900x + 20, 000

El valor de la maquinaria en funci´n del tiempo es:
o
y = −1, 900x + 20, 000
Su valor en libros al cuarto a˜o es:
n
y = −1.900(4) + 20, 000 = 12, 400
A˜os
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

2

Cuota de depreciaci´n
o
1,900
1,900
1,900
1,900
1,900
1,900
1,900
1,900
1,900
1,900

Depreciaci´n Acumulada
o
1, 900
3, 800
5, 700
7, 600
9, 500
11,400
13,30015,200
17,100
19,000

Valor neto en libros
18,100
16,200
14,300
12,400
10,500
8, 600
6, 700
4, 800
2, 900
1, 000

Problemas de M´ximos y M´
a
ınimos

Problema 2.1 Determinar dos n´meros no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor
u
posible.
Soluci´n:
o

x+y
p

=

10...(1)

= xy...(2)

Despejando x de (1) tenemos
x = 10 − y
sustituyendoen (2)
p = (10 − y)y = 10y − y 2 ...(3)
Obtengamos la primera derivada de (3)
p = 10 − 2y = 0 ⇔ y = 5.
Ahora p = −2 < 0 por lo que existe un m´ximo.
a

2

El valor que toma la funci´n en 5 es:
o
p(5) = 10(5) − (5)2 = 50 − 25 = 25.
Por lo tanto, (5, 25) es el punto donde toma su valor m´ximo, adem´s los valores x = y = 5.
a
a

Problema 2.2 Un faro se encuentra ubicado en un puntoA, situado a 5 Km. del punto m´s cercano O de
a
una costa recta. En un punto B, tambi´n en la costa y a 6 Km. de O, hay una tienda. Si el guardafaros puede
e
remar a 2 km/h , y puede cambiar a 4 km/h , ¿d´nde debe desembarcar en la costa, para ir del faro a la tienda
o
en el menor tiempo posible?

Soluci´n:
o
Dado que queremos m´
ınimizar el tiempo usaremos la f´rmula dada por d = v · t,aqui tenemos dos distancias y
o
√
dos velocidades dadas por d1 = 25 + x2 km/h por el teorema de pitagoras y d2 = (6 − x)km/h y sustituyendo
en la f´rmula del tiempo total tenemos:
o
√
d1
d2
25 + x2
6−x
+
=
+
tT (x) =
v1
v2
4
2
Igualando la primera derivada a cero para obtener los valores criticos:
1 1
tT (x) = − + ·
4 2
1
− +
4

2x
√
2 25 + x2
x
√
2 25 + x2

=0

=

0

La segunda derivada esta dada por:
1
x2
tT (x) = √
−
3
2 25 + x2
2(25 + x2 ) 2

3

5
Obteniendo el los puntos x = ± √3 , usando el criterio de la segunda derivada, tenemos que:
5
t T ( √3 ) =
punto:

√
3 3
80

> 0 por lo tanto, hay un punto m´
ınimo en 3 , encontremos el valor de la funci´n original de este
o
2

tT
Debe desembarcar en el punto

5...